Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại điểm H (H nằm giữa O và B). Trên tia đối của tia NM lấy điểm C sao cho đoạn thẳng AC cắt (O) tại K khác A. Hai dây MN và BK cắt nhau ở E

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp.

Xét tứ giác AHEK có:

 \( \widehat{AHE}={{90}^{O}} \) (AB  \( \bot  \) MN);

 \( \widehat{AKE}={{90}^{O}} \) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra  \( \widehat{AHE}+\widehat{AKE}={{180}^{O}}   \)\(\Rightarrow  \) Tứ giác AHKE nội tiếp (đpcm)

b) Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh \( \Delta NFK \) cân và EM.NC = EN.CM.

Vì NF và KB cùng vuông góc với AC nên NF // KB, AB  \( \bot  \) MN  \( \Rightarrow \overset\frown{MB}=\overset\frown{BN} \).

Có  \( \widehat{KFN}=\widehat{MKB} \) (đồng vị và KE // FN),  \( \widehat{KNF}=\widehat{NKB} \) (so le và KE // FN)

 \( \widehat{BKN}=\widehat{MKB} \) (vì  \( \overset\frown{MB}=\overset\frown{BN} \))

 \( \Rightarrow \widehat{KFN}=\widehat{KNF} \)

Do đó  \( \Delta NFK  \) cân tại K.

Xét  \( \Delta MKN  \) có KE là phân giác của  \( \widehat{MKN} \) nên  \( \frac{EM}{EN}=\frac{KM}{KN} \)   (1)

Do KE  \( \bot  \) KC nên KC là phân giác ngoài của  \( \widehat{MKN} \)  \( \Rightarrow \frac{CM}{CN}=\frac{KM}{KN} \)  (2)

Từ (1) và (2)  \( \Rightarrow \frac{CM}{CN}=\frac{EM}{EN}\Leftrightarrow EM.CN=EN.CM  \)  (đpcm)

c) Giả sử KE = KC. Chứng minh OK // MN và KM2 + KN2 = 4R2.

+ KE = KC  \( \Rightarrow \Delta KEC  \) vuông cân tại K  \( \Rightarrow \widehat{KEC}={{45}^{O}} \)  \( \Rightarrow \widehat{HEB}={{45}^{O}} \) (đối đỉnh)

 \( \Rightarrow \widehat{HBE}={{45}^{O}} \) (vì  \( \Delta HEB  \) vuông tại H)

+  \( \Delta OKB  \) cân tại O có  \( \widehat{OBK}={{45}^{O}} \) nên  \( \Delta OKB  \) vuông tại O  \( \Rightarrow  \) OK // MN (cùng vuông góc với AB) (đpcm)

+ Kẻ đường kính KK’ \(\Rightarrow \Delta KK’M\) vuông tại M \(\Rightarrow K{{M}^{2}}+K'{{M}^{2}}=K{{{K}’}^{2}}=4{{R}^{2}}\)

Lại có KK’ // MN (cùng vuông góc với AB)  \( \Rightarrow  \) cung  \( \overset\frown{K’M}=\overset\frown{KN} \) (tính chất 2 dây song song chắn 2 cung bằng nhau)  \( \Rightarrow K’N=KN  \)

Vậy  \( K{{M}^{2}}+K{{N}^{2}}=4{{R}^{2}} \)  (đpcm)