Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại điểm H (H nằm giữa O và B). Trên tia đối của tia NM lấy điểm C sao cho đoạn thẳng AC cắt (O) tại K khác A. Hai dây MN và BK cắt nhau ở E.
a) Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp.
b) Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh \( \Delta NFK \) cân và EM.NC = EN.CM.
c) Giả sử KE = KC. Chứng minh OK // MN và KM2 + KN2 = 4R2.
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp.
Xét tứ giác AHEK có:
\( \widehat{AHE}={{90}^{O}} \) (AB \( \bot \) MN);
\( \widehat{AKE}={{90}^{O}} \) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra \( \widehat{AHE}+\widehat{AKE}={{180}^{O}} \)\(\Rightarrow \) Tứ giác AHKE nội tiếp (đpcm)
b) Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh \( \Delta NFK \) cân và EM.NC = EN.CM.
Vì NF và KB cùng vuông góc với AC nên NF // KB, AB \( \bot \) MN \( \Rightarrow \overset\frown{MB}=\overset\frown{BN} \).
Có \( \widehat{KFN}=\widehat{MKB} \) (đồng vị và KE // FN), \( \widehat{KNF}=\widehat{NKB} \) (so le và KE // FN)
\( \widehat{BKN}=\widehat{MKB} \) (vì \( \overset\frown{MB}=\overset\frown{BN} \))
\( \Rightarrow \widehat{KFN}=\widehat{KNF} \)
Do đó \( \Delta NFK \) cân tại K.
Xét \( \Delta MKN \) có KE là phân giác của \( \widehat{MKN} \) nên \( \frac{EM}{EN}=\frac{KM}{KN} \) (1)
Do KE \( \bot \) KC nên KC là phân giác ngoài của \( \widehat{MKN} \) \( \Rightarrow \frac{CM}{CN}=\frac{KM}{KN} \) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{CM}{CN}=\frac{EM}{EN}\Leftrightarrow EM.CN=EN.CM \) (đpcm)
c) Giả sử KE = KC. Chứng minh OK // MN và KM2 + KN2 = 4R2.
+ KE = KC \( \Rightarrow \Delta KEC \) vuông cân tại K \( \Rightarrow \widehat{KEC}={{45}^{O}} \) \( \Rightarrow \widehat{HEB}={{45}^{O}} \) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \widehat{HBE}={{45}^{O}} \) (vì \( \Delta HEB \) vuông tại H)
+ \( \Delta OKB \) cân tại O có \( \widehat{OBK}={{45}^{O}} \) nên \( \Delta OKB \) vuông tại O \( \Rightarrow \) OK // MN (cùng vuông góc với AB) (đpcm)
+ Kẻ đường kính KK’ \(\Rightarrow \Delta KK’M\) vuông tại M \(\Rightarrow K{{M}^{2}}+K'{{M}^{2}}=K{{{K}’}^{2}}=4{{R}^{2}}\)
Lại có KK’ // MN (cùng vuông góc với AB) \( \Rightarrow \) cung \( \overset\frown{K’M}=\overset\frown{KN} \) (tính chất 2 dây song song chắn 2 cung bằng nhau) \( \Rightarrow K’N=KN \)
Vậy \( K{{M}^{2}}+K{{N}^{2}}=4{{R}^{2}} \) (đpcm)
Các bài toán liên quan
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của AO và BC
Các bài toán mới nhất!
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của AO và BC
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!