Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích toàn phần của vật tròn xoay thu được khi quay tam giác AA’C quanh trục AA’

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích toàn phần của vật tròn xoay thu được khi quay tam giác AA’C quanh trục AA’.

A. \( \pi \left( \sqrt{3}+2 \right){{a}^{2}} \)

B.  \( 2\pi \left( \sqrt{2}+1 \right){{a}^{2}} \)          

C.  \( 2\pi \left( \sqrt{6}+1 \right){{a}^{2}} \)       

D.  \( \pi \left( \sqrt{6}+2 \right){{a}^{2}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Quay tam giác AA’C một vòng quanh trục AA’ tạo thành hình nón có chiều cao AA’ = a, bán kính đáy  \( r=AC=a\sqrt{2} \), đường sinh  \( \ell =A’C=\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{3} \).

Diện tích toàn phần của hình nón:  \( S=\pi r\left( r+\ell  \right)=\pi a\sqrt{2}\left( a\sqrt{2}+a\sqrt{3} \right)=\pi \left( \sqrt{6}+2 \right){{a}^{2}} \)

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông có cạnh huyền bằng a√2. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón đó

Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông có cạnh huyền bằng \( a\sqrt{2} \). Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón đó.

A. \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}}{3} \)

B.  \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{2}}{2} \)      

C.  \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{2}}{6} \)

D.  \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{2}}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi S là đỉnh hình nón, thiết diện qua trục là tam giác SAB.

Ta có:  \( AB=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=a  \)

 \( \Rightarrow \ell =SA=a  \);  \( r=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2} \)

Vậy  \( {{S}_{xq}}=\pi r\ell =\pi .\frac{a\sqrt{2}}{2}.a=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{2}}{2} \)

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, bán kính R = 3 cm, góc ở đỉnh hình nón là 120^O. Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tại thành tam giác đều SAB, trong đó A, B thuộc đường tròn đáy. Diện tích tam giác SAB bằng

Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, bán kính R = 3 cm, góc ở đỉnh hình nón là \( \varphi ={{120}^{O}} \). Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tại thành tam giác đều SAB, trong đó A, B thuộc đường tròn đáy. Diện tích tam giác SAB bằng

A. \( 3\sqrt{3} \) cm2

B.  \( 6\sqrt{3} \) cm2       

C. 6 cm2                           

D. 3 cm2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Theo đề bài ta có góc ở đỉnh hình nón là  \( \varphi ={{120}^{O}} \) và khi cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB nên mặt phẳng không chứa trục của hình nón.

Do góc ở đỉnh hình nón là  \( \varphi ={{120}^{O}} \) nên  \( \widehat{OSC}={{60}^{O}} \).

Xét tam giác vuông SOC, ta có:  \( \tan \widehat{OSC}=\frac{OC}{SO} \) \( \Rightarrow SO=\frac{OC}{\tan \widehat{OSC}}=\frac{3}{\tan {{60}^{O}}}=\sqrt{3} \)

Xét  \( \Delta SOA  \), ta có:  \( SA=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=2\sqrt{3} \).

Do tam giác SAB đều nên  \( {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}.\sin {{60}^{O}}=3\sqrt{3}\text{ }c{{m}^{2}} \)

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được một thiết diện là một tam giác vuông cân cạnh bên a√2. Tính diện tích toàn phần của hình nón

Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được một thiết diện là một tam giác vuông cân cạnh bên \( a\sqrt{2} \). Tính diện tích toàn phần của hình nón.

A. \( 4\pi {{a}^{2}} \)

B.  \( 4\sqrt{2}\pi {{a}^{2}} \)

C.  \( \left( \sqrt{2}+1 \right)\pi {{a}^{2}} \)          

D.  \( 2\sqrt{2}\pi {{a}^{2}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Giả sử hình nón đã cho có độ dài đường sinh  \( \ell  \), bán kính đáy là R.

Thiết diện của hình nón qua trục là tam giác OAB vuông cân tại O và  \( OA=a\sqrt{2} \).

Áp dụng định lí Pitago, trong tam giác vuông cân OAB, ta có:

 \( A{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=4{{a}^{2}} \) \( \Rightarrow AB=2a  \)

Vậy  \( \ell =a\sqrt{2},R=a  \)

Diện tích toàn phần của hình nón là: \({{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{\text{}}}=\pi R\ell +\pi {{R}^{2}}=\pi {{a}^{2}}\left( \sqrt{2}+1 \right)\)

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính bằng 3. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có độ dài cạnh đáy bằng 2. Diện tích của thiết diện bằng

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính bằng 3. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có độ dài cạnh đáy bằng 2. Diện tích của thiết diện bằng

A. \( \sqrt{6} \)

B.  \( \sqrt{19} \)                       

C.  \( 2\sqrt{6} \)              

D.  \( 2\sqrt{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( h=OI=4,R=IA=IB=3,AB=2 \)

Gọi M là trung điểm AB  \( \Rightarrow MI\bot AB\Rightarrow AB\bot \left( SMI \right) \) \( \Rightarrow AB\bot SM \)

Lại có:  \( SB=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{B}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5 \);  \( SM=\sqrt{S{{B}^{2}}-M{{B}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{1}^{2}}}=2\sqrt{6} \)

Vậy:  \( {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}.SM.AB=\frac{1}{2}.2\sqrt{6}.2=2\sqrt{6} \)

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cắt hình nón (N) đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng . Biết BC là một dây cung đường tròn của đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy của hình nón một góc 60O

Cắt hình nón (N) đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng  \( 2a\sqrt{2} \). Biết BC là một dây cung đường tròn của đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy của hình nón một góc 60O. Tính diện tích tam giác SBC.

A. \( \frac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3} \)

B.  \( \frac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{9} \)                               

C.  \( \frac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3} \)                               

D.  \( \frac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{9} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân, suy ra  \( r=SO=a\sqrt{2} \).

Ta có góc giữa mặt phẳng (SBC) tạo với đáy bằng góc  \( \widehat{SIO}={{60}^{O}} \).

Trong  \( \Delta SIO  \) vuông tại O có \(SI=\frac{SO}{\sin \widehat{SIO}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}a\) và \(OI=SI.\cos \widehat{SIO}=\frac{\sqrt{6}a}{3}\)

Mà  \( BC=2\sqrt{{{r}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\frac{4a\sqrt{3}}{3} \)

Diện tích tam giác SBC là:  \( S=\frac{1}{2}SI.BC=\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3} \)

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a và AC = 2a. Khi quay tam giác ABC quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón

(Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a và AC = 2a. Khi quay tam giác ABC quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón. Diện tích xung quanh hình nón đó bằng

A. \( 5\pi {{a}^{2}} \)

B.  \( \sqrt{5}\pi {{a}^{2}} \)  

C.  \( 2\sqrt{5}\pi {{a}^{2}} \)                                 

D.  \( 10\pi {{a}^{2}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{5} \)

Diện tích xung quanh hình nón cần tìm là: \(S=\pi .AC.BC=\pi .2a.a\sqrt{5}=2\sqrt{5}\pi {{a}^{2}} \)

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình nón có bán kính bằng 5 và góc ở đỉnh bằng 60O. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

(THPTQG – 2020 – 102 – Lần 1) Cho hình nón có bán kính bằng 5 và góc ở đỉnh bằng 60O. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

A. \( 50\pi \)                                                                                                         

B.  \( \frac{100\sqrt{3}\pi }{3} \)                                       

C.  \( \frac{50\sqrt{3}\pi }{3} \)             

D.  \( 100\pi  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có độ dài đường sinh là  \( \ell =\frac{r}{\sin \frac{\alpha }{2}}=\frac{5}{\sin {{30}^{0}}}=10 \)

Diện tích xung quanh  \( {{S}_{xq}}=\pi r\ell =50\pi  \)

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!