Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60∘

Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng \( a\sqrt{2} \) và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng  \( 60{}^\circ \) . Diện tích xung quanh  \( {{S}_{xq}} \) của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng là:

A. \( {{S}_{xq}}=\pi {{a}^{2}},\,\,V=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{12} \).

B.  \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{2},\,\,V=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \).

C. \( {{S}_{xq}}=\pi {{a}^{2}}\sqrt{2},\,\,V=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{4} \).

D.  \( {{S}_{xq}}=\pi {{a}^{2}},\,\,V=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{4} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Dựa vào hình vẽ ta có, góc giữa đường sinh và mặt đáy là  \( \widehat{SAO}=60{}^\circ \) .

Tam giác SAO vuông tại O:  \( R=OA=SA.\cos \widehat{SAO}=a\sqrt{2}.\cos 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{2}}{2} \).

 \( h=SO=SA.\sin \widehat{SAO}=a\sqrt{2}\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{6}}{2} \).

Vậy  \( {{S}_{xq}}=\pi R\ell =\pi {{a}^{2}} \) và  \( V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{12} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60∘ , diện tích xung quanh bằng 6πa^2. Tính thể tích V của khối nón đã cho

Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng \( 60{}^\circ \) , diện tích xung quanh bằng  \( 6\pi {{a}^{2}} \). Tính thể tích V của khối nón đã cho.

A. \( V=\frac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{4} \).

B.  \( V=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{4} \).                                         

C.  \( V=3\pi {{a}^{3}} \). 

D.  \( V=\pi {{a}^{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Thể tích  \( V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}.SO \).

Ta có:  \( \widehat{ASB}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{ASO}=30{}^\circ \Rightarrow \tan 30{}^\circ =\frac{OA}{SO}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SO=OA\sqrt{3} \).

Lại có  \( {{S}_{xq}}=\pi R\ell =\pi .OA.SA=\pi .OA.\sqrt{O{{A}^{2}}+S{{O}^{2}}}=6\pi {{a}^{2}} \).

 \( \Rightarrow OA.\sqrt{O{{A}^{2}}+3O{{A}^{2}}}=6{{A}^{2}}\Leftrightarrow 2A{{O}^{2}}=6{{a}^{2}}\Rightarrow OA=a\sqrt{3}\Rightarrow SO=3a \).

Vậy  \( V=\frac{1}{3}\pi .3{{a}^{2}}.3a=3\pi {{a}^{3}} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=6cm,AC=8cm. Gọi V1 là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB và V2 là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC

Cho tam giác ABC vuông tại A, \( AB=6\,\,cm,\,\,AC=8\,\,cm \). Gọi  \( {{V}_{1}} \) là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB và  \( {{V}_{2}} \) là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC. Khi đó, tỉ số  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}} \) bằng:

A. \( \frac{3}{4} \).

B.  \( \frac{4}{3} \).                   

C.  \( \frac{16}{9} \).       

D.  \( \frac{9}{16} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có công thức tính thể tích khối nón có chiều cao h và bán kính r là:  \( V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h \).

+ Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB thì  \( h=AB=6\,\,cm \) và  \( r=AC=8\,\,cm \) nên  \( {{V}_{1}}=\frac{1}{3}\pi {{.8}^{2}}.6=128\pi \) .

+ Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC thì  \( h=AC=8\,\,cm \) và  \( r=AB=6\,\,cm \) nên  \( {{V}_{2}}=\frac{1}{3}\pi {{.6}^{2}}.8=96\pi \) .

Vậy  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{4}{3} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 cm, góc ở đỉnh bằng 60∘ . Tính thể tích của khối nón đó

Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 cm, góc ở đỉnh bằng \( 60{}^\circ \) . Tính thể tích của khối nón đó.

A. \( \frac{8\sqrt{3}\pi }{9}\,\,c{{m}^{3}} \).

B.  \( 8\sqrt{3}\pi \,\,c{{m}^{3}} \).          

C.  \( \frac{8\sqrt{3}\pi }{3}\,\,c{{m}^{3}} \).                                     

D.  \( \frac{8\pi }{3}\,\,c{{m}^{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục, ta được thiết diện là tam giác ABC cân tại đỉnh A của hình nón.

Do góc ở đỉnh của hình nón là  \( \widehat{BAC}=60{}^\circ \) , suy ra  \( \widehat{HAC}=30{}^\circ \) . Bán kính đáy  \( R=HC=2\,\,cm \).

Xét  \( \Delta AHC \) vuông tại H, ta có  \( AH=\frac{HC}{\tan {{30}^{o}}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}\,\,cm \).

Thể tích của khối nón là:  \( V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.AH=\frac{8\sqrt{3}\pi }{3}\,\,c{{m}^{3}} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tính thể tích của hình nón có góc ở đỉnh bằng 60∘ và diện tích xung quanh bằng 6πa2

Tính thể tích của hình nón có góc ở đỉnh bằng \( 60{}^\circ \)  và diện tích xung quanh bằng  \( 6\pi {{a}^{2}} \).

A. \( V=\frac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{4} \).

B.  \( V=3\pi {{a}^{3}} \). 

C.  \( V=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{4} \).                     

D.  \( V=\pi {{a}^{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Khối nón có góc ở đỉnh bằng  \( 60{}^\circ  \) nên góc tạo bởi đường sinh và đáy bằng  \( 60{}^\circ \) .

Vậy  \( R=\frac{\ell }{2} \); lại có  \( {{S}_{q}}=\pi R\ell =\pi R.2R=6\pi {{a}^{2}}\Rightarrow R=a\sqrt{3} \).

 \( \Rightarrow h=\sqrt{{{\ell }^{2}}-{{R}^{2}}}=R\sqrt{3}=3a \).

Vậy  \( V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=3\pi {{a}^{3}} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình nón có chiều cao bằng 2√5. Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng 9√3

(ĐMH – 2020 – Lần 1) Cho hình nón có chiều cao bằng \( 2\sqrt{5} \). Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng  \( 9\sqrt{3} \). Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

A. \( \frac{32\sqrt{5}}{3}\pi \) .

B.  \( 32\pi  \).                   

C.  \( 32\sqrt{5}\pi \) .               

D.  \( 96\pi  \).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Theo giả thiết tam giác SAB đều:  \( {{S}_{\Delta SAB}}=9\sqrt{3} \) và  \( SO=2\sqrt{5} \).

 \( {{S}_{\Delta SAB}}=9\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\Leftrightarrow AB=6 \).

 \( \Delta SAB \) đều nên  \( SA=AB=6 \).

Xét  \( \Delta SOA \) vuông tại O, theo định lí Pythago ta có:  \( OA=\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{O}^{2}}}=\sqrt{{{6}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}}=4 \).

Thể tích hình nón bằng  \( V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}.SO=\frac{1}{3}\pi {{.4}^{2}}.2\sqrt{5}=\frac{32\sqrt{5}}{3}\pi \) .

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích toàn phần của vật tròn xoay thu được khi quay tam giác AA’C quanh trục AA’

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích toàn phần của vật tròn xoay thu được khi quay tam giác AA’C quanh trục AA’.

A. \( \pi \left( \sqrt{3}+2 \right){{a}^{2}} \)

B.  \( 2\pi \left( \sqrt{2}+1 \right){{a}^{2}} \)          

C.  \( 2\pi \left( \sqrt{6}+1 \right){{a}^{2}} \)       

D.  \( \pi \left( \sqrt{6}+2 \right){{a}^{2}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Quay tam giác AA’C một vòng quanh trục AA’ tạo thành hình nón có chiều cao AA’ = a, bán kính đáy  \( r=AC=a\sqrt{2} \), đường sinh  \( \ell =A’C=\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{3} \).

Diện tích toàn phần của hình nón:  \( S=\pi r\left( r+\ell  \right)=\pi a\sqrt{2}\left( a\sqrt{2}+a\sqrt{3} \right)=\pi \left( \sqrt{6}+2 \right){{a}^{2}} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông có cạnh huyền bằng a√2. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón đó

Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông có cạnh huyền bằng \( a\sqrt{2} \). Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón đó.

A. \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}}{3} \)

B.  \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{2}}{2} \)      

C.  \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{2}}{6} \)

D.  \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{2}}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi S là đỉnh hình nón, thiết diện qua trục là tam giác SAB.

Ta có:  \( AB=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=a  \)

 \( \Rightarrow \ell =SA=a  \);  \( r=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2} \)

Vậy  \( {{S}_{xq}}=\pi r\ell =\pi .\frac{a\sqrt{2}}{2}.a=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{2}}{2} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, bán kính R = 3 cm, góc ở đỉnh hình nón là 120^O. Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tại thành tam giác đều SAB, trong đó A, B thuộc đường tròn đáy. Diện tích tam giác SAB bằng

Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, bán kính R = 3 cm, góc ở đỉnh hình nón là \( \varphi ={{120}^{O}} \). Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tại thành tam giác đều SAB, trong đó A, B thuộc đường tròn đáy. Diện tích tam giác SAB bằng

A. \( 3\sqrt{3} \) cm2

B.  \( 6\sqrt{3} \) cm2       

C. 6 cm2                           

D. 3 cm2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Theo đề bài ta có góc ở đỉnh hình nón là  \( \varphi ={{120}^{O}} \) và khi cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB nên mặt phẳng không chứa trục của hình nón.

Do góc ở đỉnh hình nón là  \( \varphi ={{120}^{O}} \) nên  \( \widehat{OSC}={{60}^{O}} \).

Xét tam giác vuông SOC, ta có:  \( \tan \widehat{OSC}=\frac{OC}{SO} \) \( \Rightarrow SO=\frac{OC}{\tan \widehat{OSC}}=\frac{3}{\tan {{60}^{O}}}=\sqrt{3} \)

Xét  \( \Delta SOA  \), ta có:  \( SA=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=2\sqrt{3} \).

Do tam giác SAB đều nên  \( {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}.\sin {{60}^{O}}=3\sqrt{3}\text{ }c{{m}^{2}} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được một thiết diện là một tam giác vuông cân cạnh bên a√2. Tính diện tích toàn phần của hình nón

Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được một thiết diện là một tam giác vuông cân cạnh bên \( a\sqrt{2} \). Tính diện tích toàn phần của hình nón.

A. \( 4\pi {{a}^{2}} \)

B.  \( 4\sqrt{2}\pi {{a}^{2}} \)

C.  \( \left( \sqrt{2}+1 \right)\pi {{a}^{2}} \)          

D.  \( 2\sqrt{2}\pi {{a}^{2}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Giả sử hình nón đã cho có độ dài đường sinh  \( \ell  \), bán kính đáy là R.

Thiết diện của hình nón qua trục là tam giác OAB vuông cân tại O và  \( OA=a\sqrt{2} \).

Áp dụng định lí Pitago, trong tam giác vuông cân OAB, ta có:

 \( A{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=4{{a}^{2}} \) \( \Rightarrow AB=2a  \)

Vậy  \( \ell =a\sqrt{2},R=a  \)

Diện tích toàn phần của hình nón là: \({{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{\text{}}}=\pi R\ell +\pi {{R}^{2}}=\pi {{a}^{2}}\left( \sqrt{2}+1 \right)\)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính bằng 3. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có độ dài cạnh đáy bằng 2. Diện tích của thiết diện bằng

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính bằng 3. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có độ dài cạnh đáy bằng 2. Diện tích của thiết diện bằng

A. \( \sqrt{6} \)

B.  \( \sqrt{19} \)                       

C.  \( 2\sqrt{6} \)              

D.  \( 2\sqrt{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( h=OI=4,R=IA=IB=3,AB=2 \)

Gọi M là trung điểm AB  \( \Rightarrow MI\bot AB\Rightarrow AB\bot \left( SMI \right) \) \( \Rightarrow AB\bot SM \)

Lại có:  \( SB=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{B}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5 \);  \( SM=\sqrt{S{{B}^{2}}-M{{B}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{1}^{2}}}=2\sqrt{6} \)

Vậy:  \( {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}.SM.AB=\frac{1}{2}.2\sqrt{6}.2=2\sqrt{6} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cắt hình nón (N) đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng . Biết BC là một dây cung đường tròn của đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy của hình nón một góc 60O

Cắt hình nón (N) đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng  \( 2a\sqrt{2} \). Biết BC là một dây cung đường tròn của đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy của hình nón một góc 60O. Tính diện tích tam giác SBC.

A. \( \frac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3} \)

B.  \( \frac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{9} \)                               

C.  \( \frac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3} \)                               

D.  \( \frac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{9} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân, suy ra  \( r=SO=a\sqrt{2} \).

Ta có góc giữa mặt phẳng (SBC) tạo với đáy bằng góc  \( \widehat{SIO}={{60}^{O}} \).

Trong  \( \Delta SIO  \) vuông tại O có \(SI=\frac{SO}{\sin \widehat{SIO}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}a\) và \(OI=SI.\cos \widehat{SIO}=\frac{\sqrt{6}a}{3}\)

Mà  \( BC=2\sqrt{{{r}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\frac{4a\sqrt{3}}{3} \)

Diện tích tam giác SBC là:  \( S=\frac{1}{2}SI.BC=\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a và AC = 2a. Khi quay tam giác ABC quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón

(Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a và AC = 2a. Khi quay tam giác ABC quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón. Diện tích xung quanh hình nón đó bằng

A. \( 5\pi {{a}^{2}} \)

B.  \( \sqrt{5}\pi {{a}^{2}} \)  

C.  \( 2\sqrt{5}\pi {{a}^{2}} \)                                 

D.  \( 10\pi {{a}^{2}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{5} \)

Diện tích xung quanh hình nón cần tìm là: \(S=\pi .AC.BC=\pi .2a.a\sqrt{5}=2\sqrt{5}\pi {{a}^{2}} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...