Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, bán kính R = 3 cm, góc ở đỉnh hình nón là 120^O. Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tại thành tam giác đều SAB, trong đó A, B thuộc đường tròn đáy. Diện tích tam giác SAB bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Theo đề bài ta có góc ở đỉnh hình nón là  \( \varphi ={{120}^{O}} \) và khi cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB nên mặt phẳng không chứa trục của hình nón.

Do góc ở đỉnh hình nón là  \( \varphi ={{120}^{O}} \) nên  \( \widehat{OSC}={{60}^{O}} \).

Xét tam giác vuông SOC, ta có:  \( \tan \widehat{OSC}=\frac{OC}{SO} \) \( \Rightarrow SO=\frac{OC}{\tan \widehat{OSC}}=\frac{3}{\tan {{60}^{O}}}=\sqrt{3} \)

Xét  \( \Delta SOA  \), ta có:  \( SA=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=2\sqrt{3} \).

Do tam giác SAB đều nên  \( {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}.\sin {{60}^{O}}=3\sqrt{3}\text{ }c{{m}^{2}} \)