Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)=x/sin2x trên khoảng (0;π) là

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

 \( F(x)=\int{f(x)dx}=\int{\frac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx} \)

Đặt  \( \left\{ \begin{align} & u=x \\  & dv=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=dx \\  & v=-\cot x \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( F(x)=\int{\frac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx}=-x.\cot x+\int{\cot xdx}=-x.\cot x+\int{\frac{\cos x}{\sin x}dx} \)

 \( =-x.\cot x+\int{\frac{1}{\sin x}d(\sin x)}=-x.\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C  \).

Với  \( x\in (0;\pi )\Rightarrow \sin x>0\Rightarrow \ln \left| \sin x \right|=\ln (\sin x) \).

Vậy  \( F(x)=-x.\cot x+\ln (\sin x)+C  \).