Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ACBˆ=300, biết góc giữa B’C và mặt phẳng (ACC’A’) bằng α thỏa mãn sinα=1/2√5

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

+ Ta có: CC’ // AA’  \( \Rightarrow  \)CC’ // (AA’B’B)

Mà  \( A’B\subset \left( AA’B’B \right) \) nên  \( {{d}_{\left( CC’,A’B \right)}}={{d}_{\left( CC’,(AA’B’B) \right)}}=C’A’=a\sqrt{3} \)

+ Ta có:  \( AC=A’C’=a\sqrt{3} \);  \( AB=A’B’=a  \)

Diện tích đáy là  \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2} \)

+ Dễ thấy  \( A’B’\bot \left( ACC’A’ \right) \)

Góc giữa B’C và mặt phẳng (ACC’A’) là  \( \widehat{B’CA’}=\alpha  \)

\(\sin \alpha =\frac{A’B’}{B’C}=\frac{1}{2\sqrt{5}}\Leftrightarrow B’C=2a\sqrt{5}\)

 \( CC’=\sqrt{B'{{C}^{2}}-B’C{{‘}^{2}}}=\sqrt{20{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=4a  \)

+ Thể tích lăng trụ là  \( V={{S}_{\Delta ABC}}.CC’=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.4a=2{{a}^{3}}\sqrt{3} \)