Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A’C’, BB’. Thể tích của khối tứ diện CMNP

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Gọi E là trung điểm của AC  \( \Rightarrow NE//BB’ \).

Nối NP cắt BE tại I suy ra B là trung điểm của EI.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC  \( \Rightarrow BG=2EG\Rightarrow {{d}_{\left( B,MC \right)}}=2{{d}_{\left( E,MC \right)}} \)

\( \Rightarrow {{d}_{\left( B,MC \right)}}=\frac{2}{3}{{d}_{\left( B,AC \right)}} \)

Do đó: \({{d}_{\left( I,MC \right)}}=\left( 1+\frac{3}{2} \right){{d}_{\left( B,MC \right)}}=\frac{5}{2}{{d}_{\left( B,MC \right)}}\)

Mà  \( {{S}_{\Delta IMC}}=\frac{1}{2}{{d}_{\left( I,MC \right)}}.MC=\frac{1}{2}.\frac{5}{2}{{d}_{\left( B,MC \right)}}.MC \)  \( =\frac{5}{2}{{S}_{\Delta MBC}}=\frac{5}{4}{{S}_{\Delta ABC}}\frac{{{V}_{N.MPC}}}{{{V}_{N.MIC}}} \) \( =\frac{NP}{NI}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{N.MPC}}=\frac{1}{2}{{V}_{N.MIC}}\begin{matrix}{} & (1)  \\\end{matrix} \)

Lại có: \( {{V}_{N.MIC}}=\frac{1}{3}{{d}_{\left( N,(ABC) \right)}}.{{S}_{\Delta IMC}} \) \( =\frac{1}{3}d\left( A’,(ABC) \right).\frac{5}{4}{{S}_{\Delta ABC}} \)

 \( \Rightarrow {{V}_{N.MIC}}=\frac{5}{12}d\left( A’,(ABC) \right).{{S}_{\Delta ABC}} \) \( =\frac{5}{12}{{V}_{ABC.A’B’C’}}=\frac{5}{12}V\begin{matrix}{} & (2)  \\\end{matrix} \)

Từ (1) và (2) suy ra: \( {{V}_{CMNP}}=\frac{1}{2}.\frac{5}{12}V=\frac{5}{24}V \)