Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A’C’, BB’. Thể tích của khối tứ diện CMNP

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A’C’, BB’. Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng:

A. \( \frac{5}{24}V \)

B.  \( \frac{1}{4}V \)

C.  \( \frac{7}{24}V \)

D. \( \frac{1}{3}V \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Gọi E là trung điểm của AC  \( \Rightarrow NE//BB’ \).

Nối NP cắt BE tại I suy ra B là trung điểm của EI.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC  \( \Rightarrow BG=2EG\Rightarrow {{d}_{\left( B,MC \right)}}=2{{d}_{\left( E,MC \right)}} \)

\( \Rightarrow {{d}_{\left( B,MC \right)}}=\frac{2}{3}{{d}_{\left( B,AC \right)}} \)

Do đó: \({{d}_{\left( I,MC \right)}}=\left( 1+\frac{3}{2} \right){{d}_{\left( B,MC \right)}}=\frac{5}{2}{{d}_{\left( B,MC \right)}}\)

Mà  \( {{S}_{\Delta IMC}}=\frac{1}{2}{{d}_{\left( I,MC \right)}}.MC=\frac{1}{2}.\frac{5}{2}{{d}_{\left( B,MC \right)}}.MC \)  \( =\frac{5}{2}{{S}_{\Delta MBC}}=\frac{5}{4}{{S}_{\Delta ABC}}\frac{{{V}_{N.MPC}}}{{{V}_{N.MIC}}} \) \( =\frac{NP}{NI}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{N.MPC}}=\frac{1}{2}{{V}_{N.MIC}}\begin{matrix}{} & (1)  \\\end{matrix} \)

Lại có: \( {{V}_{N.MIC}}=\frac{1}{3}{{d}_{\left( N,(ABC) \right)}}.{{S}_{\Delta IMC}} \) \( =\frac{1}{3}d\left( A’,(ABC) \right).\frac{5}{4}{{S}_{\Delta ABC}} \)

 \( \Rightarrow {{V}_{N.MIC}}=\frac{5}{12}d\left( A’,(ABC) \right).{{S}_{\Delta ABC}} \) \( =\frac{5}{12}{{V}_{ABC.A’B’C’}}=\frac{5}{12}V\begin{matrix}{} & (2)  \\\end{matrix} \)

Từ (1) và (2) suy ra: \( {{V}_{CMNP}}=\frac{1}{2}.\frac{5}{12}V=\frac{5}{24}V \)

 

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *