Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng 1/6a

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng \( \frac{1}{6}a  \). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

A. \( \frac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8} \)

B.  \( \frac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{28} \)                            

C.  \( \frac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4} \)                               

D.  \( \frac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{16} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Diện tích đáy:  \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}} \)

Chiều cao: \({{d}_{\left( (ABC),(A’B’C’) \right)}}=AA’\)

Do tam giác ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A lên lên A’I ta có: AH \( \bot \) (A’BC) \( \Rightarrow {{d}_{\left( A,(A’BC) \right)}}=AH \)

 \( \frac{{{d}_{\left( O,(A’BC) \right)}}}{{{d}_{\left( A,(A’BC) \right)}}}=\frac{IO}{IA}=\frac{1}{3} \) \( \Rightarrow {{d}_{\left( O,(A’BC) \right)}}=\frac{{{d}_{\left( A,(A’BC) \right)}}}{3}=\frac{AH}{3}=\frac{a}{6} \)

 \( \Rightarrow AH=\frac{a}{2} \)

Xét tam giác A’AI vuông tại A, ta có:

 \( \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{AA{{‘}^{2}}}+\frac{1}{A{{I}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{AA{{‘}^{2}}}=\frac{1}{A{{H}^{2}}}-\frac{1}{A{{I}^{2}}} \) \( \Rightarrow AA’=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \)

Vậy  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{\Delta ABC}}.AA’=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{16} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *