Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng 1/6a

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Diện tích đáy:  \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}} \)

Chiều cao: \({{d}_{\left( (ABC),(A’B’C’) \right)}}=AA’\)

Do tam giác ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A lên lên A’I ta có: AH \( \bot \) (A’BC) \( \Rightarrow {{d}_{\left( A,(A’BC) \right)}}=AH \)

 \( \frac{{{d}_{\left( O,(A’BC) \right)}}}{{{d}_{\left( A,(A’BC) \right)}}}=\frac{IO}{IA}=\frac{1}{3} \) \( \Rightarrow {{d}_{\left( O,(A’BC) \right)}}=\frac{{{d}_{\left( A,(A’BC) \right)}}}{3}=\frac{AH}{3}=\frac{a}{6} \)

 \( \Rightarrow AH=\frac{a}{2} \)

Xét tam giác A’AI vuông tại A, ta có:

 \( \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{AA{{‘}^{2}}}+\frac{1}{A{{I}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{AA{{‘}^{2}}}=\frac{1}{A{{H}^{2}}}-\frac{1}{A{{I}^{2}}} \) \( \Rightarrow AA’=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \)

Vậy  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{\Delta ABC}}.AA’=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{16} \)