Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng 1/2a

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng \( \frac{1}{2}a  \). Thể tích của khối lăng trụ bằng:

A. \( \frac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12} \)

B.  \( \frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{16} \)                               

C.  \( \frac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{16} \)                            

D.  \( \frac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{48} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi I là trung điểm của BC và H là hình chiếu vuông góc của A lên A’I.

Khi đó, ta có:  \( {{d}_{\left( A,(A’BC) \right)}}=AH=\frac{1}{2}a  \).

Trong tam giác vuông AA’I, ta có:

 \( \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{AA{{‘}^{2}}}+\frac{1}{A{{I}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{AA{{‘}^{2}}}=\frac{1}{A{{H}^{2}}}-\frac{1}{A{{I}^{2}}} \)  \( =\frac{1}{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{4}{{{a}^{2}}}-\frac{4}{3{{a}^{2}}}=\frac{8}{3{{a}^{2}}} \)

Suy ra:  \( AA’=\frac{a\sqrt{6}}{4} \)

Thể tích khối lăng trụ là:  \( V={{S}_{\Delta ABC}}.AA’=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{4}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{16} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *