Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (S) là mặt cầu đi qua điểm D(0;1;2) và tiếp xúc với các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó a,b,c∈R∖{ 0;1 }. Bán kính của (S) bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (S) là mặt cầu đi qua điểm D(0;1;2) và tiếp xúc với các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó \( a,b,c\in \mathbb{R}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{  }\!\!\{\!\!\text{ 0;1 }\!\!\}\!\!\text{ } \). Bán kính của (S) bằng

A. \( \sqrt{5} \)

B.  \( \frac{\sqrt{5}}{2} \)         

C.  \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \)                                        

D.  \( 5\sqrt{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi I là tâm của mặt cầu (S). Vì (S) tiếp xúc với các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) nên ta có:  \( \left\{ \begin{align}& IA\bot Ox \\  & IB\bot Oy \\  & IC\bot Oz \\ \end{align} \right. \) hay A, B, C tương ứng là hình chiếu của I trên Ox, Oy, Oz  \( \Rightarrow I(a;b;c) \).

 \( \Rightarrow  \) Mặt cầu (S) có phương trình:  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0\) với  \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \) .

Vì (S) đi qua A, B, C, D nên ta có:  \( \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}={{b}^{2}}={{c}^{2}}=d\begin{matrix}   {} & (1)  \\\end{matrix} \\ & 5-2b-4c+d=0\begin{matrix}  {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

Vì  \( a,b,c\in \mathbb{R}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{  }\!\!\{\!\!\text{ 0;1 }\!\!\}\!\!\text{ } \) nên  \( 0<d\ne 1 \). Mặt khác, từ (1)  \( \Rightarrow R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\sqrt{2d} \)    (*)

+ Trường hợp 1: Từ (1)  \( \Rightarrow b=c=\sqrt{d} \). Thay vào (*): \( 5-6\sqrt{d}+d=0\Leftrightarrow d=25 \)  (nhận)

 \( \Rightarrow R=\sqrt{2.25}=5\sqrt{2} \).

+ Trường hợp 2: Từ (1)  \( \Rightarrow b=c=-\sqrt{d} \). Thay vào (*): \( 5+6\sqrt{d}+d=0 \) (vô nghiệm)

+ Trường hợp 3: Từ (1)  \( \Rightarrow b=\sqrt{d},c=-\sqrt{d} \). Thay vào (*): \( 5+2\sqrt{d}+d=0 \) (vô nghiệm)

+ Trường hợp 4: Từ (1)  \( \Rightarrow b=-\sqrt{d},c=\sqrt{d} \). Thay vào (*): \( 5-2\sqrt{d}+d=0  \)(vô nghiệm)

Vậy mặt cầu (S) có bán kính  \( R=5\sqrt{2} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *