Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (S) là mặt cầu đi qua điểm D(0;1;2) và tiếp xúc với các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó \( a,b,c\in \mathbb{R}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 0;1 }\!\!\}\!\!\text{ } \). Bán kính của (S) bằng
A. \( \sqrt{5} \)
B. \( \frac{\sqrt{5}}{2} \)
C. \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \)
D. \( 5\sqrt{2} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Gọi I là tâm của mặt cầu (S). Vì (S) tiếp xúc với các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) nên ta có: \( \left\{ \begin{align}& IA\bot Ox \\ & IB\bot Oy \\ & IC\bot Oz \\ \end{align} \right. \) hay A, B, C tương ứng là hình chiếu của I trên Ox, Oy, Oz \( \Rightarrow I(a;b;c) \).
\( \Rightarrow \) Mặt cầu (S) có phương trình: \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0\) với \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \) .
Vì (S) đi qua A, B, C, D nên ta có: \( \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}={{b}^{2}}={{c}^{2}}=d\begin{matrix} {} & (1) \\\end{matrix} \\ & 5-2b-4c+d=0\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).
Vì \( a,b,c\in \mathbb{R}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 0;1 }\!\!\}\!\!\text{ } \) nên \( 0<d\ne 1 \). Mặt khác, từ (1) \( \Rightarrow R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\sqrt{2d} \) (*)
+ Trường hợp 1: Từ (1) \( \Rightarrow b=c=\sqrt{d} \). Thay vào (*): \( 5-6\sqrt{d}+d=0\Leftrightarrow d=25 \) (nhận)
\( \Rightarrow R=\sqrt{2.25}=5\sqrt{2} \).
+ Trường hợp 2: Từ (1) \( \Rightarrow b=c=-\sqrt{d} \). Thay vào (*): \( 5+6\sqrt{d}+d=0 \) (vô nghiệm)
+ Trường hợp 3: Từ (1) \( \Rightarrow b=\sqrt{d},c=-\sqrt{d} \). Thay vào (*): \( 5+2\sqrt{d}+d=0 \) (vô nghiệm)
+ Trường hợp 4: Từ (1) \( \Rightarrow b=-\sqrt{d},c=\sqrt{d} \). Thay vào (*): \( 5-2\sqrt{d}+d=0 \)(vô nghiệm)
Vậy mặt cầu (S) có bán kính \( R=5\sqrt{2} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!