Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (S) là mặt cầu đi qua điểm D(0;1;2) và tiếp xúc với các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó a,b,c∈R∖{ 0;1 }. Bán kính của (S) bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi I là tâm của mặt cầu (S). Vì (S) tiếp xúc với các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) nên ta có:  \( \left\{ \begin{align}& IA\bot Ox \\  & IB\bot Oy \\  & IC\bot Oz \\ \end{align} \right. \) hay A, B, C tương ứng là hình chiếu của I trên Ox, Oy, Oz  \( \Rightarrow I(a;b;c) \).

 \( \Rightarrow  \) Mặt cầu (S) có phương trình:  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0\) với  \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \) .

Vì (S) đi qua A, B, C, D nên ta có:  \( \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}={{b}^{2}}={{c}^{2}}=d\begin{matrix}   {} & (1)  \\\end{matrix} \\ & 5-2b-4c+d=0\begin{matrix}  {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

Vì  \( a,b,c\in \mathbb{R}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{  }\!\!\{\!\!\text{ 0;1 }\!\!\}\!\!\text{ } \) nên  \( 0<d\ne 1 \). Mặt khác, từ (1)  \( \Rightarrow R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\sqrt{2d} \)    (*)

+ Trường hợp 1: Từ (1)  \( \Rightarrow b=c=\sqrt{d} \). Thay vào (*): \( 5-6\sqrt{d}+d=0\Leftrightarrow d=25 \)  (nhận)

 \( \Rightarrow R=\sqrt{2.25}=5\sqrt{2} \).

+ Trường hợp 2: Từ (1)  \( \Rightarrow b=c=-\sqrt{d} \). Thay vào (*): \( 5+6\sqrt{d}+d=0 \) (vô nghiệm)

+ Trường hợp 3: Từ (1)  \( \Rightarrow b=\sqrt{d},c=-\sqrt{d} \). Thay vào (*): \( 5+2\sqrt{d}+d=0 \) (vô nghiệm)

+ Trường hợp 4: Từ (1)  \( \Rightarrow b=-\sqrt{d},c=\sqrt{d} \). Thay vào (*): \( 5-2\sqrt{d}+d=0  \)(vô nghiệm)

Vậy mặt cầu (S) có bán kính  \( R=5\sqrt{2} \).