Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0;2) và đường thẳng d có phương trình: (x−1)/1=y/1=(z+1)/2. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc và cắt d

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Cách 1:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương  \( \vec{u}=(1;1;2) \).

Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d, nên nhận vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến (P):  \( 1(x-1)+y+2(z-2)=0\Leftrightarrow x+y+2z-5=0 \)

Gọi B là giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng d  \( \Rightarrow B(1+t;t-1;-1+2t) \)

Vì  \( B\in (P)\Leftrightarrow (1+t)+t+2(-1+2t)-5=0 \)

 \( \Leftrightarrow t=1\Rightarrow B(2;1;1) \)

Ta có đường thẳng  \( \Delta  \) đi qua A và nhận vectơ  \( \overrightarrow{AB}=(1;1;-1) \) là vectơ chỉ phương có dạng  \( \Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1} \).

Cách 2:

Gọi  \( d\cap \Delta =B\Rightarrow B(1+t;t;-1+2t) \)

 \( \overrightarrow{AB}=(t;t;-3+2t) \), đường thẳng d có VTCP là \({{\vec{u}}_{d}}=(1;1;2)\).

Vì \(d\bot \Delta \) nên \(\overrightarrow{AB}\bot {{\vec{u}}_{d}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.{{\vec{u}}_{d}}=0\)

\(\Leftrightarrow t+t+2(-3+2t)=0\Leftrightarrow t=1\)

Suy ra  \( \overrightarrow{AB}=(1;1;-1) \). Ta có đường thẳng  \( \Delta \)  đi qua A(1;0;2) và nhận vectơ  \( \overrightarrow{AB}=(1;1;-1) \) là vectơ chỉ phương có dạng  \( \Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1} \).