Tính số nghiệm của phương trình cotx=2x trong khoảng (11π/12;2019π)

Tính số nghiệm của phương trình \( \cot x={{2}^{x}} \) trong khoảng  \( \left( \frac{11\pi }{12};2019\pi  \right) \).

A. 2019.

B. 2018.

C. 1.                                  

D. 2020.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Xét phương trình  \( \cot x={{2}^{x}}\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \).

Điều kiện:  \( \sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \).

Xét hàm số  \( f(x)={{2}^{x}}-\cot x,\,\,x\in \left( \frac{11\pi }{12};2019\pi  \right)\backslash \{k\pi \} với k\in \mathbb{Z} \).

 \( \Rightarrow {f}'(x)={{2}^{x}}.\ln 2+1+{{\cot }^{2}}x>0,\,\,\forall x\in \left( \frac{11\pi }{12};2019\pi  \right)\backslash \{k\pi \} \) với  \( k\in \mathbb{Z} \).

Suy ra hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên mỗi khoảng  \( \left( \frac{11\pi }{12};\pi  \right);\,\,(\pi ;2\pi );…;(2018\pi ;2019\pi ) \).

+ Trên khoảng  \( \left( \frac{11\pi }{12};\pi  \right) \) ta có bảng biến thiên:

Ta có:  \( f\left( \frac{11\pi }{12} \right)={{2}^{\frac{11\pi }{12}}}-\cot \left( \frac{11\pi }{12} \right)\approx 11,0925>0 \). Do đó phương trình  \( f(x)=0 \) vô nghiệm trên khoảng  \( \left( \frac{11\pi }{12};\pi  \right) \).

+ Trên mỗi khoảng  \( \left( k\pi ;(k+1)\pi  \right),\,\,k\in \{1;2;…;2018\} \) ta có bảng biến thiên:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy mỗi khoảng  \( \left( k\pi ;(k+1)\pi  \right),\,\,k\in \{1;2;…;2018\} \) phương trình  \( f(x)=0 \) có đúng 1 nghiệm. Mà có 2018 khoảng nên phương trình  \( f(x)=0 \) có đúng 2018 nghiệm.

Vậy phương trình  \( f(x)=0 \) có 2018 nghiệm.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *