Số nghiệm của phương trình x^2−5x−2=(x^2−8x+3).8^3x−5+(3x−5).8^x^2−8x+3 là

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u={{x}^{2}}-8x+3 \\  & v=3x-5 \\ \end{align} \right. \), phương trình đã cho trở thành:

 \( u+v=u{{.8}^{v}}+v{{.8}^{u}}\Leftrightarrow u(1-{{8}^{v}})=v({{8}^{u}}-1)\,\,\,\,\,\,(*) \)

+Ta thấy  \( u=0\vee v=0 \) thỏa mãn phương trình (*).

+ Với  \( \left\{ \begin{align}  & u\ne 0 \\  & v\ne 0 \\ \end{align} \right. \) ta có  \( (*)\Leftrightarrow \frac{1-{{8}^{v}}}{v}=\frac{{{8}^{u}}-1}{u}\,\,\,\,\,(**) \)

Ta thấy:

– Nếu  \( u>0 \) thì  \( \frac{{{8}^{u}}-1}{u}>0 \) và nếu  \( u<0 \) thì  \( \frac{{{8}^{u}}-1}{u}>0 \). Do đó  \( VP(**)>0,\,\,\forall u\ne 0 \).

– Nếu  \( v>0 \) thì \(\frac{1-{{8}^{v}}}{v}<0\) và nếu \(v<0\) thì \(\frac{1-{{8}^{v}}}{v}<0\). Do đó \(VT(**)<0,\,\,\forall v\ne 0\).

Từ đó suy ra (**) vô nghiệm.

Như vậy, phương trình đã cho tương đương với:

 \( \left[ \begin{align}  & u=0 \\  & v=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}-8x+3=0 \\  & 3x-5=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=4+\sqrt{13} \\  & x=4-\sqrt{13} \\  & x=\frac{5}{3} \\ \end{align} \right. \).

Vậy, phương trình đã cho có 3 nghiệm.