Hỏi phương trình 3.2^x+4.3^x+5.4^x=6.5^x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có:  \( {{3.2}^{x}}+{{4.3}^{x}}+{{5.4}^{x}}={{6.5}^{x}}\Leftrightarrow 3{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}+4{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+5{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}-6=0 \).

Xét hàm số  \( f(x)=3{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}+4{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+5{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}-6,\,\,\forall x\in \mathbb{R} \).

Có  \( {f}'(x)=3{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}\ln \frac{2}{5}+4{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}\ln \frac{3}{5}+5{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}\ln \frac{4}{5}<0,\,\,\forall x\in \mathbb{R} \) nên hàm số f(x) nghịch biến trên  \( \mathbb{R} \) suy ra phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm (1).

Mặt khác:  \( f(1).f(2)=\frac{8}{5}.\left( -\frac{22}{25} \right)=-\frac{176}{125}<0 \) nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;2)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.