Số nghiệm của phương trình 3^log7(x+4)=x là

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Điều kiện của phương trình:  \( x>-4 \).

Với  \( x>0 \) phương trình đã cho tương dương với phương trình  \( {{\log }_{7}}(x+4)={{\log }_{3}}x \).

Đặt  \( {{\log }_{7}}(x+4)={{\log }_{3}}x=t \).

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & x+4={{7}^{t}} \\  & x={{3}^{t}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{7}^{t}}={{3}^{t}}+4\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{7} \right)}^{t}}+4{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{t}}-1=0\,\,\,\,\,(1) \)

Xét hàm số  \( f(t)={{\left( \frac{3}{7} \right)}^{t}}+4{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{t}}-1,\,\,\forall t\in \mathbb{R} \).

Ta có:  \( {f}'(t)={{\left( \frac{3}{7} \right)}^{t}}\ln \left( \frac{3}{7} \right)+4{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{t}}\ln \left( \frac{1}{7} \right)<0,\,\,\forall t\in \mathbb{R} \)

Nên f(t) nghịch biến trên tập  \( \mathbb{R} \).

Mà  \( f(1)=0 \) nên phương trình có nghiệm duy nhất  \( t=1\Leftrightarrow x=3 \).