Tính số nghiệm của phương trình cotx=2x trong khoảng (11π/12;2019π)

Tính số nghiệm của phương trình \( \cot x={{2}^{x}} \) trong khoảng  \( \left( \frac{11\pi }{12};2019\pi  \right) \).

A. 2019.

B. 2018.

C. 1.                                  

D. 2020.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Xét phương trình  \( \cot x={{2}^{x}}\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \).

Điều kiện:  \( \sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \).

Xét hàm số  \( f(x)={{2}^{x}}-\cot x,\,\,x\in \left( \frac{11\pi }{12};2019\pi  \right)\backslash \{k\pi \} với k\in \mathbb{Z} \).

 \( \Rightarrow {f}'(x)={{2}^{x}}.\ln 2+1+{{\cot }^{2}}x>0,\,\,\forall x\in \left( \frac{11\pi }{12};2019\pi  \right)\backslash \{k\pi \} \) với  \( k\in \mathbb{Z} \).

Suy ra hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên mỗi khoảng  \( \left( \frac{11\pi }{12};\pi  \right);\,\,(\pi ;2\pi );…;(2018\pi ;2019\pi ) \).

+ Trên khoảng  \( \left( \frac{11\pi }{12};\pi  \right) \) ta có bảng biến thiên:

Ta có:  \( f\left( \frac{11\pi }{12} \right)={{2}^{\frac{11\pi }{12}}}-\cot \left( \frac{11\pi }{12} \right)\approx 11,0925>0 \). Do đó phương trình  \( f(x)=0 \) vô nghiệm trên khoảng  \( \left( \frac{11\pi }{12};\pi  \right) \).

+ Trên mỗi khoảng  \( \left( k\pi ;(k+1)\pi  \right),\,\,k\in \{1;2;…;2018\} \) ta có bảng biến thiên:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy mỗi khoảng  \( \left( k\pi ;(k+1)\pi  \right),\,\,k\in \{1;2;…;2018\} \) phương trình  \( f(x)=0 \) có đúng 1 nghiệm. Mà có 2018 khoảng nên phương trình  \( f(x)=0 \) có đúng 2018 nghiệm.

Vậy phương trình  \( f(x)=0 \) có 2018 nghiệm.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *