Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m để phương trình (√2+1)^x-m(√2-1)^x=8 có hai nghiệm dương phân biệt

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Đặt $t={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}},t>0$. Vì ${{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}.{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}=1\Rightarrow {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}=\frac{1}{t}$

Phương trình đã cho trở thành: $t-\frac{m}{t}=8\Leftrightarrow {{t}^{2}}-8t=m$ (*)

Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

Xét $f(t)={{t}^{2}}-8t,\forall t\in \left( 1;+\infty  \right)$

Ta có: ${f}'(t)=2t-8$

${f}'(t)=0\Leftrightarrow t=4$

Bảng biến thiên của hàm f(t):

Từ bảng biến thiên, (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi và chỉ khi $-16<m<-7$

Vậy số phần tử của S là 8.