Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \( {{m}^{2}}\left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}} \right)-m\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}} \right)+x-\ln x-1\ge 0 \) thỏa mãn với \( \forall x>0 \). Tính tổng các giá trị trong tập hợp S.
A. 2
B. 0
C. 1
D. \( -2 \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Đặt \( f(x)={{m}^{2}}\left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}} \right)-m\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}} \right)+x-\ln x-1\ge \)
Ta có: f(x) liên tục, có đạo hàm trên \( \left( 0;+\infty \right) \) và \( {f}'(x)={{m}^{2}}\left( 5{{x}^{4}}-4{{x}^{3}} \right)-m\left( 4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)+1-\frac{1}{x} \).
Bất phương trình đã cho viết thành \( f(x)\ge 0 \).
Giả sử \( y=f(x) \) có đồ thị là (C).
\( f(x)\ge 0 \) với \( \forall x>0 \) khi và chỉ khi đồ thị (C) không nằm phía dưới trục Ox.
Mặt khác (C) và Ox có điểm chung là A(1;0). Nên điều kiện cần để đồ thị (C) không nằm phía dưới trục Ox là Ox tiếp xúc với (C) tại A(1;0).
Suy ra, \( {f}'(1)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=0 \\ & m=1 \\ \end{align} \right. \)
Với m = 0 ta có bất phương trình đã cho trở thành \( f(x)=x-\ln x-1\ge 0 \)
\( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \)
Bảng biến thiên của hàm số f(x):
Dựa vào bảng biến thiên ta có \( f(x)\ge 0,\forall x>0 \).
Suy ra m = 0 thỏa mãn điều kiện.
Với m = 1, ta có bất phương trình đã cho trở thành \( f(x)={{x}^{5}}-2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\ln x+x-1\ge 0 \) .
\( {f}'(x)=5{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-\frac{1}{x}+1 \) \( =\frac{5{{x}^{5}}-8{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}+x-1}{x}=\frac{\left( x-1 \right)\left( 5{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+1 \right)}{x} \)
Ta có: \( 5{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+1={{\left( 2{{x}^{2}}-\frac{3}{4}x \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}-\frac{9}{32} \right)}^{2}}+1-{{\left( \frac{9}{32} \right)}^{2}}>0 \)
Suy ra \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \).
Bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \( f(x)\ge ,\forall x>0 \).
Suy ra m = 1 thỏa mãn điều kiện.
Vậy \( S=\left\{ 0;1 \right\} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!