Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m^2(x^5−x^4)−m(x^4−x^3)+x−lnx−1≥0 thỏa mãn với ∀x>0. Tính tổng các giá trị trong tập hợp S

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \( {{m}^{2}}\left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}} \right)-m\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}} \right)+x-\ln x-1\ge 0 \) thỏa mãn với  \( \forall x>0 \). Tính tổng các giá trị trong tập hợp S.

A. 2

B. 0

C. 1                                   

D.  \( -2 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Đặt  \( f(x)={{m}^{2}}\left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}} \right)-m\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}} \right)+x-\ln x-1\ge  \)

Ta có: f(x) liên tục, có đạo hàm trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \) và  \( {f}'(x)={{m}^{2}}\left( 5{{x}^{4}}-4{{x}^{3}} \right)-m\left( 4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)+1-\frac{1}{x} \).

Bất phương trình đã cho viết thành  \( f(x)\ge 0 \).

Giả sử  \( y=f(x) \) có đồ thị là (C).

 \( f(x)\ge 0 \) với  \( \forall x>0 \) khi và chỉ khi đồ thị (C) không nằm phía dưới trục Ox.

Mặt khác (C) và Ox có điểm chung là A(1;0). Nên điều kiện cần để đồ thị (C) không nằm phía dưới trục Ox là Ox tiếp xúc với (C) tại A(1;0).

Suy ra, \( {f}'(1)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=0 \\  & m=1 \\ \end{align} \right. \)

Với m = 0 ta có bất phương trình đã cho trở thành  \( f(x)=x-\ln x-1\ge 0 \)

 \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \)

Bảng biến thiên của hàm số f(x):

 

Dựa vào bảng biến thiên ta có  \( f(x)\ge 0,\forall x>0 \).

Suy ra m = 0 thỏa mãn điều kiện.

Với m = 1, ta có bất phương trình đã cho trở thành  \( f(x)={{x}^{5}}-2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\ln x+x-1\ge 0 \) .

 \( {f}'(x)=5{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-\frac{1}{x}+1 \) \( =\frac{5{{x}^{5}}-8{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}+x-1}{x}=\frac{\left( x-1 \right)\left( 5{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+1 \right)}{x} \)

Ta có:  \( 5{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+1={{\left( 2{{x}^{2}}-\frac{3}{4}x \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}-\frac{9}{32} \right)}^{2}}+1-{{\left( \frac{9}{32} \right)}^{2}}>0 \)

Suy ra  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \).

Bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:  \( f(x)\ge ,\forall x>0 \).

Suy ra m = 1 thỏa mãn điều kiện.

Vậy  \( S=\left\{ 0;1 \right\} \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *