Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m^2(x^5−x^4)−m(x^4−x^3)+x−lnx−1≥0 thỏa mãn với ∀x>0. Tính tổng các giá trị trong tập hợp S

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Đặt  \( f(x)={{m}^{2}}\left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}} \right)-m\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}} \right)+x-\ln x-1\ge  \)

Ta có: f(x) liên tục, có đạo hàm trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \) và  \( {f}'(x)={{m}^{2}}\left( 5{{x}^{4}}-4{{x}^{3}} \right)-m\left( 4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)+1-\frac{1}{x} \).

Bất phương trình đã cho viết thành  \( f(x)\ge 0 \).

Giả sử  \( y=f(x) \) có đồ thị là (C).

 \( f(x)\ge 0 \) với  \( \forall x>0 \) khi và chỉ khi đồ thị (C) không nằm phía dưới trục Ox.

Mặt khác (C) và Ox có điểm chung là A(1;0). Nên điều kiện cần để đồ thị (C) không nằm phía dưới trục Ox là Ox tiếp xúc với (C) tại A(1;0).

Suy ra, \( {f}'(1)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=0 \\  & m=1 \\ \end{align} \right. \)

Với m = 0 ta có bất phương trình đã cho trở thành  \( f(x)=x-\ln x-1\ge 0 \)

 \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \)

Bảng biến thiên của hàm số f(x):

Dựa vào bảng biến thiên ta có  \( f(x)\ge 0,\forall x>0 \).

Suy ra m = 0 thỏa mãn điều kiện.

Với m = 1, ta có bất phương trình đã cho trở thành  \( f(x)={{x}^{5}}-2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\ln x+x-1\ge 0 \) .

 \( {f}'(x)=5{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-\frac{1}{x}+1 \) \( =\frac{5{{x}^{5}}-8{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}+x-1}{x}=\frac{\left( x-1 \right)\left( 5{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+1 \right)}{x} \)

Ta có:  \( 5{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+1={{\left( 2{{x}^{2}}-\frac{3}{4}x \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}-\frac{9}{32} \right)}^{2}}+1-{{\left( \frac{9}{32} \right)}^{2}}>0 \)

Suy ra  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \).

Bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:  \( f(x)\ge ,\forall x>0 \).

Suy ra m = 1 thỏa mãn điều kiện.

Vậy  \( S=\left\{ 0;1 \right\} \).