Gọi mO là giá trị nhỏ nhất để bất phương trình 1+log2(2−x)−2log2(m−x/2+4(√(2−x)+√(2x+2)))≤−log2(x+1) có nghiệm

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{align}  & -1 < x<2 \\  & m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right)>0 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -1< x<2 \\  & m>\frac{x}{2}-4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \\ \end{align} \right.\) (*)

Với điều kiện trên bất phương trình:

\(1+{{\log }_{2}}\left( 2-x \right)-2{{\log }_{2}}\left( m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right)\le -{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ 2\left( 2-x \right)\left( x+1 \right) \right]\le {{\log }_{2}}{{\left[ m-\frac{x}{2}+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2} \right) \right]}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow \sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)}\le m-\frac{x}{2}+4\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)} \)

 \( \Leftrightarrow m\ge \frac{x}{2}-4\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)}+\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)} \) (1)

Ta thấy các nghiệm của (1) trong khoảng  \( \left( -1;2 \right) \) luôn thỏa mãn (*)

Đặt \(t=\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\), t > 0 với  \( x\in \left( -1;2 \right) \)

Xét \(f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\) với \(x\in \left( -1;2 \right)\).

 \( {f}'(x)=\frac{-1}{2\sqrt{2-x}}+\frac{1}{\sqrt{2x+2}}=\frac{2\sqrt{2-x}-\sqrt{2x+2}}{2\sqrt{(2-x)(2x+2)}} \)

 \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow 2\sqrt{2-x}=\sqrt{2x+2}\Leftrightarrow x=1 \)

Bảng biến thiên:

Suy ra khi  \( x\in \left( -1;2 \right) \) khi  \( t\in \left( \sqrt{3};3 \right] \).

Ta có:  \( {{t}^{2}}=4+x+2\sqrt{\left( 2-x \right)\left( 2x+2 \right)} \) \( \Leftrightarrow \frac{x}{2}+\sqrt{(2-x)(2x+2)}=\frac{{{t}^{2}}-4}{2} \)

(1) trở thành:  \( m\ge \frac{{{t}^{2}}-4}{2}-4t\Leftrightarrow 2m\ge {{t}^{2}}-8t-4 \) (2)

(1) có nghiệm  \( x\in \left( -1;2 \right) \) \( \Leftrightarrow (2) \) có nghiệm \(t\in \left( \sqrt{3};3 \right]\).

Xét hàm số  \( y=g(t)={{t}^{2}}-8t-4 \)  trên \(\left( \sqrt{3};3 \right]\).

Bảng biến thiên:

Do đó, bất phương trình (2) có nghiệm  \( t\in \left( \sqrt{3};3 \right]  \)khi và chỉ khi  \( 2m\ge 19\Leftrightarrow m\ge -\frac{19}{2} \).

Suy ra:  \( {{m}_{0}}=-\frac{19}{2}\in \left( -10;-9 \right) \).