Xét bất phương trình log^22(2x)−2(m+1)log2x−2<0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng (√2;+∞)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Bất phương trình  \( \log _{2}^{2}(2x)-2(m+1){{\log }_{2}}x-2<0 \) \( \Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-2m{{\log }_{2}}x-1<0 \) (1).

Đặt  \( t={{\log }_{2}}x  \), vì  \( x\in \left( \sqrt{2};+\infty  \right)\Rightarrow t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \).

Bất phương trình trở thành  \( {{t}^{2}}-2mt-1<0\Leftrightarrow 2mt>{{t}^{2}}-1 \)

 \( \Leftrightarrow 2m>\frac{{{t}^{2}}-1}{t} \) (2).

Đặt  \( f(t)=\frac{{{t}^{2}}-1}{t} \) với  \( t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \).

Bất phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \sqrt{2};+\infty  \right) \) khi và chỉ khi bất phương trình (2) có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \).

Ta có:  \( {f}'(t)=1+\frac{1}{{{t}^{2}}}>0,\forall t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \sqrt{2};+\infty  \right) \) khi và chỉ khi  \( 2m>-\frac{3}{2}\Leftrightarrow m>-\frac{3}{4} \)