Cho a là số thực dương, a≠1. Biết bất phương trình 2logax≤x−1 nghiệm đúng với mọi x>0

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có: Với x = 1 thì  \( 2{{\log }_{a}}1=0=0=1-1 \)

Ta sẽ tìm a để đường thẳng  \( y=x-1 \) nhận làm tiếp tuyến của đồ thị hàm số  \( y=2{{\log }_{a}}x  \) tại điểm  \( x=1 \).

Có:  \( {y}’=\frac{2}{x\ln a}\Rightarrow {y}'(1)=\frac{2}{\ln a} \)

Phương trình tiếp tuyến:  \( y=\frac{2}{\ln a}\left( x-1 \right) \)

Vậy để đường thẳng  \( y=x-1 \) nhận làm tiếp tuyến của đồ thị hàm số  \( y=2{{\log }_{a}}x  \) thì  \( \frac{2}{\ln a}=1\Leftrightarrow \ln a=2\Leftrightarrow a={{e}^{2}} \)

Thử lại  \( a={{e}^{2}} \) ta sẽ chứng minh  \( 2{{\log }_{{{e}^{2}}}}\le x-1\Leftrightarrow \ln x\le x-1 \)

 \( \Leftrightarrow f(x)=\ln x-x+1\le 0,\forall x>0 \)

Có  \( {f}'(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x} \) \( \Rightarrow {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra:  \( f(x)\le 0\Leftrightarrow \ln x\le x-1,\forall x>0 \)