Cho a là số thực dương, \( a\ne 1 \). Biết bất phương trình \( 2{{\log }_{a}}x\le x-1 \) nghiệm đúng với mọi \( x>0 \). Số a thuộc tập hợp nào sau đây?
A. (7;8)
B. (3;5]
C. (2;3)
D. \( \left( 8;+\infty \right) \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Ta có: Với x = 1 thì \( 2{{\log }_{a}}1=0=0=1-1 \)
Ta sẽ tìm a để đường thẳng \( y=x-1 \) nhận làm tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y=2{{\log }_{a}}x \) tại điểm \( x=1 \).
Có: \( {y}’=\frac{2}{x\ln a}\Rightarrow {y}'(1)=\frac{2}{\ln a} \)
Phương trình tiếp tuyến: \( y=\frac{2}{\ln a}\left( x-1 \right) \)
Vậy để đường thẳng \( y=x-1 \) nhận làm tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y=2{{\log }_{a}}x \) thì \( \frac{2}{\ln a}=1\Leftrightarrow \ln a=2\Leftrightarrow a={{e}^{2}} \)
Thử lại \( a={{e}^{2}} \) ta sẽ chứng minh \( 2{{\log }_{{{e}^{2}}}}\le x-1\Leftrightarrow \ln x\le x-1 \)
\( \Leftrightarrow f(x)=\ln x-x+1\le 0,\forall x>0 \)
Có \( {f}'(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x} \) \( \Rightarrow {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: \( f(x)\le 0\Leftrightarrow \ln x\le x-1,\forall x>0 \)
Các bài toán liên quan
Các bài toán mới!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!