Cho a là số thực dương, a≠1. Biết bất phương trình 2logax≤x−1 nghiệm đúng với mọi x>0

Cho a là số thực dương, \( a\ne 1 \). Biết bất phương trình  \( 2{{\log }_{a}}x\le x-1 \) nghiệm đúng với mọi  \( x>0 \). Số a thuộc tập hợp nào sau đây?

A. (7;8)

B. (3;5]                             

C. (2;3)                             

D.  \( \left( 8;+\infty  \right) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có: Với x = 1 thì  \( 2{{\log }_{a}}1=0=0=1-1 \)

Ta sẽ tìm a để đường thẳng  \( y=x-1 \) nhận làm tiếp tuyến của đồ thị hàm số  \( y=2{{\log }_{a}}x  \) tại điểm  \( x=1 \).

Có:  \( {y}’=\frac{2}{x\ln a}\Rightarrow {y}'(1)=\frac{2}{\ln a} \)

Phương trình tiếp tuyến:  \( y=\frac{2}{\ln a}\left( x-1 \right) \)

Vậy để đường thẳng  \( y=x-1 \) nhận làm tiếp tuyến của đồ thị hàm số  \( y=2{{\log }_{a}}x  \) thì  \( \frac{2}{\ln a}=1\Leftrightarrow \ln a=2\Leftrightarrow a={{e}^{2}} \)

Thử lại  \( a={{e}^{2}} \) ta sẽ chứng minh  \( 2{{\log }_{{{e}^{2}}}}\le x-1\Leftrightarrow \ln x\le x-1 \)

 \( \Leftrightarrow f(x)=\ln x-x+1\le 0,\forall x>0 \)

Có  \( {f}'(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x} \) \( \Rightarrow {f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra:  \( f(x)\le 0\Leftrightarrow \ln x\le x-1,\forall x>0 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *