Gọi g(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=ln(x−1). Cho biết g(2)=1 và g(3)=alnb trong đó a, b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của T=3a^2−b^2

Gọi g(x) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x)=\ln (x-1) \). Cho biết  \( g(2)=1 \) và  \( g(3)=a\ln b  \) trong đó a, b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của  \( T=3{{a}^{2}}-{{b}^{2}} \)

A. T = 8

B. \( T=-17 \)                  

C. T = 2                           

D.  \( T=-13 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=\ln (x-1) \\  & dv=dx \\ \end{align} \right. \) \( \to \left\{ \begin{align} & du=\frac{1}{x-1} \\ & v=x-1 \\ \end{align} \right. \)

 \( g(x)=\int{\ln (x-1)dx}=(x-1)\ln (x+1)-\int{\frac{x-1}{x-1}dx}=(x-1)\ln (x+1)-x+C  \)

Do  \( g(2)=1\Leftrightarrow 1\ln 1-2+C=1\Leftrightarrow C=3 \)

 \( \Rightarrow g(x)=(x-1)\ln (x-1)-x+3 \)

Suy ra: \(g(3)=2\ln 2-3+3=2\ln 2=\ln 4\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=1 \\  & b=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow T=3{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=-13\)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x)=ln(x+3)/x^2 sao cho F(−2)+F(1)=0. Giá trị của F(−1)+F(2) bằng

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của \( f(x)=\frac{\ln (x+3)}{{{x}^{2}}} \) sao cho  \( F(-2)+F(1)=0 \). Giá trị của  \( F(-1)+F(2) \) bằng

A. \(\frac{10}{3}\ln 2-\frac{5}{6}\ln 5\)

B. 0

C. \(\frac{7}{3}\ln 2\)           

D. \(\frac{2}{3}\ln 2+\frac{1}{2}\ln 5\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Tính \(\int{\frac{\ln (x+3)}{{{x}^{2}}}dx}\)

Đặt \(\left\{ \begin{align}  & u=\ln (x+3) \\  & dv=\frac{dx}{{{x}^{2}}} \\ \end{align} \right.\)\(\to \left\{ \begin{align} & du=\frac{dx}{x+3} \\  & v=-\frac{1}{x} \\ \end{align} \right.\)

Ta có:  \( \int{\frac{\ln (x+3)}{{{x}^{2}}}dx}=-\frac{1}{x}\ln (x+3)+\int{\frac{1}{x(x+3)}dx} \) \( =-\frac{1}{x}\ln (x+3)+\frac{1}{3}\ln \left| \frac{x}{x+3} \right|+C=F(x)+C \)

Lại có:  \( F(-2)+F(1)=0\Leftrightarrow \left( \frac{1}{3}\ln 2+C \right)+\left( -\ln 4+\frac{1}{3}\ln \frac{1}{4}+C \right)=0\Leftrightarrow 2C=\frac{7}{3}\ln 2 \)

Suy ra:  \( F(-1)+F(2)=\ln 2+\frac{1}{3}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 5+\frac{1}{3}\ln \frac{2}{5}+2C=\frac{10}{3}\ln 2-\frac{5}{6}\ln 5 \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn f′(x)=(x+1)e^x, f(0)=0 và ∫f(x)dx=(ax+b)e^x+C với a,b,C là các hằng số

Cho hàm số \( y=f(x) \) thỏa mãn  \( {f}'(x)=(x+1){{e}^{x}},\text{ }f(0)=0 \) và  \( \int{f(x)dx}=(ax+b){{e}^{x}}+C  \) với  \( a,b,C \)  là các hằng số. Khi đó:

A. \( a+b=2 \)

B.  \( a+b=3 \)                 

C.  \( a+b=1 \)                 

D.  \( a+b=0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Theo đề:  \( {f}'(x)=(x+1){{e}^{x}} \). Nguyên hàm 2 vế ta được:

\(\int{{f}'(x)dx}=\int{(x+1){{e}^{x}}dx}\Leftrightarrow f(x)=(x+1){{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx}\)

  \( \Rightarrow f(x)=(x+1){{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=x{{e}^{x}}+C  \)

Mà  \( f(0)=0\Rightarrow 0.{{e}^{0}}+C=0\Leftrightarrow C=0\Rightarrow f(x)=x{{e}^{x}} \)

 \( \Rightarrow \int{f(x)dx}=\int{x{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=(x-1){{e}^{x}}+C  \)

Suy ra:  \( \left\{ \begin{align} & a=1 \\ & b=-1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow a+b=0 \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x)+f′(x)=e^−x, ∀x∈R và f(0)=2. Tất cả các nguyên hàm của f(x)e^2x là

Cho hàm số f(x) thỏa mãn \( f(x)+{f}'(x)={{e}^{-x}},\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( f(0)=2 \). Tất cả các nguyên hàm của  \( f(x){{e}^{2x}} \) là:

A. \( (x-2){{e}^{x}}+{{e}^{x}}+C \)                  

B.  \( (x+2){{e}^{2x}}+{{e}^{x}}+C  \)                       

C.  \( (x-1){{e}^{x}}+C  \) 

D.  \( (x+1){{e}^{x}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( f(x)+{f}'(x)={{e}^{-x}}\Rightarrow f(x){{e}^{x}}+{f}'(x){{e}^{x}}=1 \)

\(\Leftrightarrow {{\left[ f(x){{e}^{x}} \right]}^{\prime }}=1\Leftrightarrow f(x){{e}^{x}}=x+{{C}_{1}}\)

Vì \(f(0)=2\Rightarrow {{C}_{1}}=2\Rightarrow f(x){{e}^{2x}}=(x+2){{e}^{x}}\)\(\Rightarrow \int{f(x){{e}^{2x}}dx}=\int{(x+2){{e}^{x}}dx}\)

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x+2 \\  & dv={{e}^{x}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=dx \\  & v={{e}^{x}} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow \int{f(x){{e}^{2x}}dx}=\int{(x+2){{e}^{x}}dx}=(x+2){{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx} \) \( =(x+2){{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=(x+1){{e}^{x}}+C \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho F(x)=(x−1)e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f′(x)e^2x

(THPTQG – 2017 – 110) Cho \( F(x)=(x-1){{e}^{x}} \) là một nguyên hàm của hàm số  \( f(x){{e}^{2x}} \). Tìm nguyên hàm của hàm số  \( {f}'(x){{e}^{2x}} \).

A. \( \int{{f}'(x){{e}^{2x}}dx}=(4-2x){{e}^{x}}+C \)                                 

B.  \( \int{{f}'(x){{e}^{2x}}dx}=(x-2){{e}^{x}}+C  \)

C. \( \int{{f}'(x){{e}^{2x}}dx}=\frac{2-x}{2}{{e}^{x}}+C \)                     

D.  \( \int{{f}'(x){{e}^{2x}}dx}=(2-x){{e}^{x}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Theo đề bài ta có:  \( \int{f(x).{{e}^{2x}}dx}=(x-1){{e}^{x}}+C  \)

 \( \Rightarrow f(x).{{e}^{2x}}={{\left[ (x-1){{e}^{x}} \right]}^{\prime }}={{e}^{x}}+(x-1){{e}^{x}} \)

 \( \Rightarrow f(x)={{e}^{-x}}+(x-1).{{e}^{-x}}=x.{{e}^{-x}}\Rightarrow {f}'(x)=(1-x){{e}^{-x}} \)

Suy ra:  \( K=\int{{f}'(x){{e}^{2x}}dx}=\int{(1-x){{e}^{x}}dx}=\int{(1-x)d({{e}^{x}})}={{e}^{x}}(1-x)+\int{{{e}^{x}}dx}=(2-x){{e}^{x}}+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho F(x)=−1/3x^3 là một nguyên hàm của hàm số f(x)/x. Tìm nguyên hàm của hàm số f′(x)lnx

(THPTQG – 2017 – 105) Cho \( F(x)=-\frac{1}{3{{x}^{3}}} \) là một nguyên hàm của hàm số  \( \frac{f(x)}{x} \). Tìm nguyên hàm của hàm số  \( {f}'(x)\ln x  \).

A. \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{5{{x}^{5}}}+C \)             

B.  \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}-\frac{1}{5{{x}^{5}}}+C  \)

C. \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=-\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{3{{x}^{3}}}+C \)             

D.  \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{3{{x}^{3}}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {F}'(x)=\frac{f(x)}{x}\Rightarrow f(x)=x.{F}'(x)=x.\left( -\frac{1}{3}{{x}^{-3}} \right)=\frac{1}{{{x}^{3}}}={{x}^{-3}} \)

 \( \Rightarrow {f}'(x)=-3{{x}^{-4}}\Rightarrow {f}'(x)\ln x=-3{{x}^{-4}}\ln x  \)

Vậy  \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=\int{-3{{x}^{-4}}\ln xdx}=-3\int{{{x}^{-4}}\ln xdx} \)

Đặt  \( \left\{ \begin{align} & u=\ln x \\  & dv={{x}^{-4}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=\frac{1}{x}dx \\  & v=\frac{{{x}^{-3}}}{-3} \\ \end{align} \right. \)

Nên \(\int{{f}'(x)\ln xdx}=-\left( \frac{\ln x}{-3{{x}^{3}}}+\int{\frac{{{x}^{-4}}}{3}dx} \right)=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}-\int{{{x}^{-4}}dx}=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{3{{x}^{3}}}+C\)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho F(x)=1/2x^2 là một nguyên hàm của hàm số f(x)/x. Tìm nguyên hàm của hàm số f′(x)lnx

(THPTQG – 2017 – 104) Cho \( F(x)=\frac{1}{2{{x}^{2}}} \) là một nguyên hàm của hàm số  \( \frac{f(x)}{x} \). Tìm nguyên hàm của hàm số  \( {f}'(x)\ln x  \).

A. \(\int{{f}'(x)\ln xdx}=-\left( \frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+C\)

B. \(\int{{f}'(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{2{{x}^{2}}}+C\)

C. \(\int{{f}'(x)\ln xdx}=-\left( \frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{2{{x}^{2}}} \right)+C\)

D. \(\int{{f}'(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+C\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có: \(\int{\frac{f(x)}{x}dx}=F(x)\Rightarrow {F}'(x)=\frac{f(x)}{x}=-\frac{1}{{{x}^{3}}}\)\(\Rightarrow f(x)=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {f}'(x)=\frac{2}{{{x}^{3}}}\)

Suy ra:  \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=\int{\frac{2}{{{x}^{3}}}\ln xdx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=\ln x \\  & dv=\frac{2}{{{x}^{3}}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=\frac{dx}{x} \\  & v=-\frac{1}{{{x}^{2}}} \\ \end{align} \right. \)

Khi đó:  \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=\int{\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}dx}=-\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\int{\frac{1}{{{x}^{3}}}dx}=-\left( \frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{2{{x}^{2}}} \right)+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Họ nguyên hàm của hàm số y=((2x^2+x)lnx+1)/x là

Họ nguyên hàm của hàm số \( y=\frac{(2{{x}^{2}}+x)\ln x+1}{x} \) là

A. \( ({{x}^{2}}+x+1)\ln x-\frac{{{x}^{2}}}{2}+x+C \)                            

B.  \( ({{x}^{2}}+x-1)\ln x+\frac{{{x}^{2}}}{2}-x+C  \)

C. \( ({{x}^{2}}+x+1)\ln x-\frac{{{x}^{2}}}{2}-x+C \)                              

D.  \( ({{x}^{2}}+x-1)\ln x-\frac{{{x}^{2}}}{2}+x+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( \int{\frac{(2{{x}^{2}}+x)\ln x+1}{x}dx}=\int{(2x+1)\ln xdx}+\int{\frac{1}{x}dx}=\int{(2x+1)\ln xdx}+\ln \left| x \right|+{{C}_{1}} \)

Tính  \( \int{(2x+1)\ln xdx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=\ln x \\  & dv=(2x+1)dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=\frac{1}{x}dx \\ & v={{x}^{2}}+x \\ \end{align} \right. \)

 \(\int{(2x+1)\ln xdx}=({{x}^{2}}+x)\ln x-\int{({{x}^{2}}+x)\frac{1}{x}dx}\)

\(=({{x}^{2}}+x)\ln x-\int{(x+1)dx}=({{x}^{2}}+x)\ln x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+{{C}_{2}}\)

 \( \Rightarrow \int{\frac{(2{{x}^{2}}+x)\ln x+1}{x}dx}=({{x}^{2}}+x)\ln x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+{{C}_{2}}+\ln x+{{C}_{1}} \)

 \( =({{x}^{2}}+x+1)\ln x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho biết F(x)=1/3x^3+2x−1/x là một nguyên hàm của f(x)=(x^2+a)^2/x^2. Tìm nguyên hàm của g(x)=xcosax

Cho biết \( F(x)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+2x-\frac{1}{x} \) là một nguyên hàm của  \( f(x)=\frac{{{({{x}^{2}}+a)}^{2}}}{{{x}^{2}}} \). Tìm nguyên hàm của  \( g(x)=x\cos ax  \).

A. \( x\sin x-\cos x+C \)                                             

B.  \( \frac{1}{2}x\sin 2x-\frac{1}{4}\cos 2x+C  \)

C. \( x\sin x+\cos x+C \)                                          

D.  \( \frac{1}{2}x\sin 2x+\frac{1}{4}\cos 2x+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {F}'(x)={{x}^{2}}+2+\frac{1}{{{x}^{2}}}=\frac{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}{{{x}^{2}}} \).

Do F(x) là một nguyên hàm của  \( f(x)=\frac{{{({{x}^{2}}+a)}^{2}}}{{{x}^{2}}} \) nên a = 1.

 \( \int{g(x)dx}=\int{x\cos xdx} \)

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x \\  & dv=\cos xdx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=dx \\  & v=\sin x \\ \end{align} \right. \)

 \( \int{g(x)dx}=\int{x\cos xdx}=x\sin x-\int{\sin xdx}=x\sin x+\cos x+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hai hàm số F(x), G(x) xác định và có đạo hàm lần lượt là f(x), g(x) trên R. Biết rằng F(x).G(x)=x^2ln(x^2+1) và F(x).g(x)=2x^3/(x^2+1). Họ nguyên hàm của f(x).G(x) là

Cho hai hàm số F(x), G(x) xác định và có đạo hàm lần lượt là f(x), g(x) trên \( \mathbb{R} \). Biết rằng  \( F(x).G(x)={{x}^{2}}\ln ({{x}^{2}}+1) \) và  \( F(x).g(x)=\frac{2{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1} \). Họ nguyên hàm của  \( f(x).G(x) \) là:

A. \( ({{x}^{2}}+1)\ln ({{x}^{2}}+1)+2{{x}^{2}}+C \)                          

B.  \( ({{x}^{2}}+1)\ln ({{x}^{2}}+1)-2{{x}^{2}}+C  \)

C. \( ({{x}^{2}}+1)\ln ({{x}^{2}}+1)-{{x}^{2}}+C \)                              

D.  \( ({{x}^{2}}+1)\ln ({{x}^{2}}+1)+{{x}^{2}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có: \(F(x).G(x)=\int{{{\left[ F(x).G(x) \right]}^{\prime }}dx}=\int{\left[ {{\left[ F(x) \right]}^{\prime }}.G(x)+F(x).{{\left[ G(x) \right]}^{\prime }} \right]dx}\)

\(\Rightarrow \int{{{\left[ F(x) \right]}^{\prime }}.G(x)dx}=F(x).G(x)-\int{F(x).{{\left[ G(x) \right]}^{\prime }}dx}={{x}^{2}}\ln ({{x}^{2}}+1)-\int{\frac{2{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1}dx}\)

\(={{x}^{2}}\ln ({{x}^{2}}+1)-({{x}^{2}}+1)+\ln ({{x}^{2}}+1)+C=({{x}^{2}}+1)\ln ({{x}^{2}}+1)-{{x}^{2}}+C\)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)=x/sin2x trên khoảng (0;π) là

Tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x)=\frac{x}{{{\sin }^{2}}x} \) trên khoảng  \( (0;\pi ) \) là:

A. \(-x\cot x+\ln (\sin x)+C\)

B. \(x\cot x-\ln \left| \sin x \right|+C\)

C. \(x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C\)

D. \(-x\cot x-\ln (\sin x)+C\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

 \( F(x)=\int{f(x)dx}=\int{\frac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx} \)

Đặt  \( \left\{ \begin{align} & u=x \\  & dv=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=dx \\  & v=-\cot x \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( F(x)=\int{\frac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx}=-x.\cot x+\int{\cot xdx}=-x.\cot x+\int{\frac{\cos x}{\sin x}dx} \)

 \( =-x.\cot x+\int{\frac{1}{\sin x}d(\sin x)}=-x.\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C  \).

Với  \( x\in (0;\pi )\Rightarrow \sin x>0\Rightarrow \ln \left| \sin x \right|=\ln (\sin x) \).

Vậy  \( F(x)=-x.\cot x+\ln (\sin x)+C  \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Giả sử F(x)=(ax^2+bx+c)e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x)=x^2e^x. Tính tích P=abc

Giả sử \( F(x)=(a{{x}^{2}}+bx+c){{e}^{x}} \) là một nguyên hàm của hàm số  \( f(x)={{x}^{2}}{{e}^{x}} \). Tính tích  \( P=abc  \).

A. -4

B. 1                                   

C. -5                                 

D. -3

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u={{x}^{2}}\Rightarrow du=2xdx \\  & dv={{e}^{x}}dx\Rightarrow v={{e}^{x}} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow \int{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx}={{x}^{2}}{{e}^{x}}-2\int{x{{e}^{x}}dx} \)

Ta đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=xdx \\  & dv={{e}^{x}}dx\Rightarrow v={{e}^{x}} \\ \end{align} \right. \)

\(\Rightarrow \int{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx}={{x}^{2}}{{e}^{x}}-2\left( x{{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx} \right)=\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right){{e}^{x}}\)

Vậy,  \( a=1,b=-2,c=2\Rightarrow P=abc=-4 \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết cos2x là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f′(x)e^x là

(Đề Minh Họa – 2020 – Lần 1) Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \). Biết  \( \cos 2x  \) là một nguyên hàm của hàm số  \( f(x){{e}^{x}} \), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  \( {f}'(x){{e}^{x}} \) là

A. \( -\sin 2x+\cos 2x+C \)                                                                                  

B.  \( -2\sin 2x+\cos 2x+C  \)     

C. \( -2\sin 2x-\cos 2x+C \)                                                                                 

D.  \( 2\sin 2x-\cos 2x+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Do  \( \cos 2x  \) là một nguyên hàm của hàm số  \( f(x){{e}^{x}} \) nên  \( f(x){{e}^{x}}=(\cos 2x{)}’\Leftrightarrow f(x){{e}^{x}}=-2\sin 2x  \).

Khi đó, ta có  \( \int{f(x){{e}^{x}}dx}=\cos 2x+C  \)

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=f(x) \\  & dv={{e}^{x}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du={f}'(x)dx \\  & v={{e}^{x}} \\ \end{align} \right. \)

Khi đó  \( \int{f(x){{e}^{x}}dx}=\cos 2x+C\Leftrightarrow \int{f(x)d({{e}^{x}})}=\cos 2x+C  \)

 \( \Leftrightarrow f(x){{e}^{x}}-\int{{f}'(x){{e}^{x}}dx}=\cos 2x+C\Leftrightarrow \int{{f}'(x){{e}^{x}}dx}=-2\sin 2x-\cos 2x+C  \)

Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số  \( {f}'(x){{e}^{x}} \) là  \( -2\sin 2x-\cos 2x+C  \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số f(x)=x/√(x^2+4). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g(x)=(x+1)f′(x) là

(THPTQG – 2020 – 104 – Lần 1) Cho hàm số \( f(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}} \). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  \( g(x)=(x+1){f}'(x) \) là

A. \(\frac{x+4}{2\sqrt{{{x}^{2}}+4}}+C\)

B. \(\frac{x-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}+C\)

C. \(\frac{{{x}^{2}}+2x-4}{2\sqrt{{{x}^{2}}+4}}+C\)                                

D. \(\frac{{{x}^{2}}+x+4}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}+C\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có: \(\int{g(x)dx}=\int{(x+1){f}'(x)dx}\)

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x+1 \\  & dv={f}'(x)dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=dx \\ & v=f(x) \\ \end{align} \right. \)

Suy ra: \(\int{g(x)dx}=(x+1)f(x)-\int{f(x)dx}=\frac{(x+1)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}-\int{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}dx}\)

\(=\frac{{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}-\int{\frac{1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+4}}d({{x}^{2}}+4)}=\frac{{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}-\sqrt{{{x}^{2}}+4}+C=\frac{x-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}+C\)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số f(x)=x/√(x^2+1). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g(x)=(x+1)f′(x)

(THPTQG – 2020 – 103 – Lần 1) Cho hàm số \( f(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  \( g(x)=(x+1){f}'(x) \).

A. \( \frac{{{x}^{2}}+2x-1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C \)                            

B.  \( \frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C  \)                  

C.  \( \frac{2{{x}^{2}}+x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C  \)                                     

D.  \( \frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Xét \( \int{g(x)dx}=\int{(x+1){f}'(x)dx} \)

Đặt \( \left\{ \begin{align} & u=x+1 \\  & dv={f}'(x)dx \\ \end{align} \right. \)  \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=dx \\  & v=f(x) \\ \end{align} \right. \)

Vậy  \( \int{g(x)dx}=(x+1)f(x)-\int{f(x)dx}=\frac{(x+1)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-\int{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx} \)

 \( =\frac{(x+1)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C=\frac{{{x}^{2}}+x-{{x}^{2}}-1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C=\frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số f(x)=x/√(x^2+3). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g(x)=(x+1)f′(x) là

(THPTQG – 2020 – 102 – Lần 1) Cho hàm số \( f(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}} \). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  \( g(x)=(x+1){f}'(x) \) là:

A. \( \frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2\sqrt{{{x}^{2}}+3}}+C \)                            

B.  \( \frac{x+3}{2\sqrt{{{x}^{2}}+3}}+C  \)                

C.  \( \frac{2{{x}^{2}}+x+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}+C  \)                                     

D.  \( \frac{x-3}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( \int{(x+1){f}'(x)dx}=(x+1)f(x)-\int{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}dx}=\frac{x-3}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số f(x)=x/√(x^2+2). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g(x)=(x+1).f′(x) là

(THPTQG – 2020 – 101 – Lần 1) Cho hàm số \( f(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}} \). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  \( g(x)=(x+1).{f}'(x) \) là:

A. \( \frac{{{x}^{2}}+2x-2}{2\sqrt{{{x}^{2}}+2}}+C \)                            

B.  \( \frac{x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}+C  \)                    

C.  \( \frac{{{x}^{2}}+2x+2}{2\sqrt{{{x}^{2}}+2}}+C  \)                                   

D.  \( \frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Tính  \( g(x)=\int{\left( x+1 \right){f}'(x)dx}=(x+1)f(x)-\int{(x+1{)}’f(x)dx} \)

 \( =\frac{{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}-\int{f(x)dx}=\frac{{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}-\int{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}dx} \)

 \( =\frac{{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}-\sqrt{{{x}^{2}}+2}+C=\frac{x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!