Họ nguyên hàm của hàm số y=((2x^2+x)lnx+1)/x là

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( \int{\frac{(2{{x}^{2}}+x)\ln x+1}{x}dx}=\int{(2x+1)\ln xdx}+\int{\frac{1}{x}dx}=\int{(2x+1)\ln xdx}+\ln \left| x \right|+{{C}_{1}} \)

Tính  \( \int{(2x+1)\ln xdx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=\ln x \\  & dv=(2x+1)dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=\frac{1}{x}dx \\ & v={{x}^{2}}+x \\ \end{align} \right. \)

 \(\int{(2x+1)\ln xdx}=({{x}^{2}}+x)\ln x-\int{({{x}^{2}}+x)\frac{1}{x}dx}\)

\(=({{x}^{2}}+x)\ln x-\int{(x+1)dx}=({{x}^{2}}+x)\ln x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+{{C}_{2}}\)

 \( \Rightarrow \int{\frac{(2{{x}^{2}}+x)\ln x+1}{x}dx}=({{x}^{2}}+x)\ln x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+{{C}_{2}}+\ln x+{{C}_{1}} \)

 \( =({{x}^{2}}+x+1)\ln x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+C  \)