Gọi g(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=ln(x−1). Cho biết g(2)=1 và g(3)=alnb trong đó a, b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của T=3a^2−b^2

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=\ln (x-1) \\  & dv=dx \\ \end{align} \right. \) \( \to \left\{ \begin{align} & du=\frac{1}{x-1} \\ & v=x-1 \\ \end{align} \right. \)

 \( g(x)=\int{\ln (x-1)dx}=(x-1)\ln (x+1)-\int{\frac{x-1}{x-1}dx}=(x-1)\ln (x+1)-x+C  \)

Do  \( g(2)=1\Leftrightarrow 1\ln 1-2+C=1\Leftrightarrow C=3 \)

 \( \Rightarrow g(x)=(x-1)\ln (x-1)-x+3 \)

Suy ra: \(g(3)=2\ln 2-3+3=2\ln 2=\ln 4\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=1 \\  & b=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow T=3{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=-13\)