Gọi g(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=ln(x−1). Cho biết g(2)=1 và g(3)=alnb trong đó a, b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của T=3a^2−b^2

Gọi g(x) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x)=\ln (x-1) \). Cho biết  \( g(2)=1 \) và  \( g(3)=a\ln b  \) trong đó a, b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của  \( T=3{{a}^{2}}-{{b}^{2}} \)

A. T = 8

B. \( T=-17 \)                  

C. T = 2                           

D.  \( T=-13 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=\ln (x-1) \\  & dv=dx \\ \end{align} \right. \) \( \to \left\{ \begin{align} & du=\frac{1}{x-1} \\ & v=x-1 \\ \end{align} \right. \)

 \( g(x)=\int{\ln (x-1)dx}=(x-1)\ln (x+1)-\int{\frac{x-1}{x-1}dx}=(x-1)\ln (x+1)-x+C  \)

Do  \( g(2)=1\Leftrightarrow 1\ln 1-2+C=1\Leftrightarrow C=3 \)

 \( \Rightarrow g(x)=(x-1)\ln (x-1)-x+3 \)

Suy ra: \(g(3)=2\ln 2-3+3=2\ln 2=\ln 4\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=1 \\  & b=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow T=3{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=-13\)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x)=ln(x+3)/x^2 sao cho F(−2)+F(1)=0. Giá trị của F(−1)+F(2) bằng

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của \( f(x)=\frac{\ln (x+3)}{{{x}^{2}}} \) sao cho  \( F(-2)+F(1)=0 \). Giá trị của  \( F(-1)+F(2) \) bằng

A. \(\frac{10}{3}\ln 2-\frac{5}{6}\ln 5\)

B. 0

C. \(\frac{7}{3}\ln 2\)           

D. \(\frac{2}{3}\ln 2+\frac{1}{2}\ln 5\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Tính \(\int{\frac{\ln (x+3)}{{{x}^{2}}}dx}\)

Đặt \(\left\{ \begin{align}  & u=\ln (x+3) \\  & dv=\frac{dx}{{{x}^{2}}} \\ \end{align} \right.\)\(\to \left\{ \begin{align} & du=\frac{dx}{x+3} \\  & v=-\frac{1}{x} \\ \end{align} \right.\)

Ta có:  \( \int{\frac{\ln (x+3)}{{{x}^{2}}}dx}=-\frac{1}{x}\ln (x+3)+\int{\frac{1}{x(x+3)}dx} \) \( =-\frac{1}{x}\ln (x+3)+\frac{1}{3}\ln \left| \frac{x}{x+3} \right|+C=F(x)+C \)

Lại có:  \( F(-2)+F(1)=0\Leftrightarrow \left( \frac{1}{3}\ln 2+C \right)+\left( -\ln 4+\frac{1}{3}\ln \frac{1}{4}+C \right)=0\Leftrightarrow 2C=\frac{7}{3}\ln 2 \)

Suy ra:  \( F(-1)+F(2)=\ln 2+\frac{1}{3}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 5+\frac{1}{3}\ln \frac{2}{5}+2C=\frac{10}{3}\ln 2-\frac{5}{6}\ln 5 \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn f′(x)=(x+1)e^x, f(0)=0 và ∫f(x)dx=(ax+b)e^x+C với a,b,C là các hằng số

Cho hàm số \( y=f(x) \) thỏa mãn  \( {f}'(x)=(x+1){{e}^{x}},\text{ }f(0)=0 \) và  \( \int{f(x)dx}=(ax+b){{e}^{x}}+C  \) với  \( a,b,C \)  là các hằng số. Khi đó:

A. \( a+b=2 \)

B.  \( a+b=3 \)                 

C.  \( a+b=1 \)                 

D.  \( a+b=0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Theo đề:  \( {f}'(x)=(x+1){{e}^{x}} \). Nguyên hàm 2 vế ta được:

\(\int{{f}'(x)dx}=\int{(x+1){{e}^{x}}dx}\Leftrightarrow f(x)=(x+1){{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx}\)

  \( \Rightarrow f(x)=(x+1){{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=x{{e}^{x}}+C  \)

Mà  \( f(0)=0\Rightarrow 0.{{e}^{0}}+C=0\Leftrightarrow C=0\Rightarrow f(x)=x{{e}^{x}} \)

 \( \Rightarrow \int{f(x)dx}=\int{x{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=(x-1){{e}^{x}}+C  \)

Suy ra:  \( \left\{ \begin{align} & a=1 \\ & b=-1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow a+b=0 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x)+f′(x)=e^−x, ∀x∈R và f(0)=2. Tất cả các nguyên hàm của f(x)e^2x là

Cho hàm số f(x) thỏa mãn \( f(x)+{f}'(x)={{e}^{-x}},\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( f(0)=2 \). Tất cả các nguyên hàm của  \( f(x){{e}^{2x}} \) là:

A. \( (x-2){{e}^{x}}+{{e}^{x}}+C \)                  

B.  \( (x+2){{e}^{2x}}+{{e}^{x}}+C  \)                       

C.  \( (x-1){{e}^{x}}+C  \) 

D.  \( (x+1){{e}^{x}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( f(x)+{f}'(x)={{e}^{-x}}\Rightarrow f(x){{e}^{x}}+{f}'(x){{e}^{x}}=1 \)

\(\Leftrightarrow {{\left[ f(x){{e}^{x}} \right]}^{\prime }}=1\Leftrightarrow f(x){{e}^{x}}=x+{{C}_{1}}\)

Vì \(f(0)=2\Rightarrow {{C}_{1}}=2\Rightarrow f(x){{e}^{2x}}=(x+2){{e}^{x}}\)\(\Rightarrow \int{f(x){{e}^{2x}}dx}=\int{(x+2){{e}^{x}}dx}\)

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x+2 \\  & dv={{e}^{x}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=dx \\  & v={{e}^{x}} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow \int{f(x){{e}^{2x}}dx}=\int{(x+2){{e}^{x}}dx}=(x+2){{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx} \) \( =(x+2){{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=(x+1){{e}^{x}}+C \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Cho F(x)=(x−1)e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f′(x)e^2x

(THPTQG – 2017 – 110) Cho \( F(x)=(x-1){{e}^{x}} \) là một nguyên hàm của hàm số  \( f(x){{e}^{2x}} \). Tìm nguyên hàm của hàm số  \( {f}'(x){{e}^{2x}} \).

A. \( \int{{f}'(x){{e}^{2x}}dx}=(4-2x){{e}^{x}}+C \)                                 

B.  \( \int{{f}'(x){{e}^{2x}}dx}=(x-2){{e}^{x}}+C  \)

C. \( \int{{f}'(x){{e}^{2x}}dx}=\frac{2-x}{2}{{e}^{x}}+C \)                     

D.  \( \int{{f}'(x){{e}^{2x}}dx}=(2-x){{e}^{x}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Theo đề bài ta có:  \( \int{f(x).{{e}^{2x}}dx}=(x-1){{e}^{x}}+C  \)

 \( \Rightarrow f(x).{{e}^{2x}}={{\left[ (x-1){{e}^{x}} \right]}^{\prime }}={{e}^{x}}+(x-1){{e}^{x}} \)

 \( \Rightarrow f(x)={{e}^{-x}}+(x-1).{{e}^{-x}}=x.{{e}^{-x}}\Rightarrow {f}'(x)=(1-x){{e}^{-x}} \)

Suy ra:  \( K=\int{{f}'(x){{e}^{2x}}dx}=\int{(1-x){{e}^{x}}dx}=\int{(1-x)d({{e}^{x}})}={{e}^{x}}(1-x)+\int{{{e}^{x}}dx}=(2-x){{e}^{x}}+C  \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Cho F(x)=−1/3x^3 là một nguyên hàm của hàm số f(x)/x. Tìm nguyên hàm của hàm số f′(x)lnx

(THPTQG – 2017 – 105) Cho \( F(x)=-\frac{1}{3{{x}^{3}}} \) là một nguyên hàm của hàm số  \( \frac{f(x)}{x} \). Tìm nguyên hàm của hàm số  \( {f}'(x)\ln x  \).

A. \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{5{{x}^{5}}}+C \)             

B.  \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}-\frac{1}{5{{x}^{5}}}+C  \)

C. \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=-\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{3{{x}^{3}}}+C \)             

D.  \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{3{{x}^{3}}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {F}'(x)=\frac{f(x)}{x}\Rightarrow f(x)=x.{F}'(x)=x.\left( -\frac{1}{3}{{x}^{-3}} \right)=\frac{1}{{{x}^{3}}}={{x}^{-3}} \)

 \( \Rightarrow {f}'(x)=-3{{x}^{-4}}\Rightarrow {f}'(x)\ln x=-3{{x}^{-4}}\ln x  \)

Vậy  \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=\int{-3{{x}^{-4}}\ln xdx}=-3\int{{{x}^{-4}}\ln xdx} \)

Đặt  \( \left\{ \begin{align} & u=\ln x \\  & dv={{x}^{-4}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=\frac{1}{x}dx \\  & v=\frac{{{x}^{-3}}}{-3} \\ \end{align} \right. \)

Nên \(\int{{f}'(x)\ln xdx}=-\left( \frac{\ln x}{-3{{x}^{3}}}+\int{\frac{{{x}^{-4}}}{3}dx} \right)=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}-\int{{{x}^{-4}}dx}=\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{3{{x}^{3}}}+C\)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Cho F(x)=1/2x^2 là một nguyên hàm của hàm số f(x)/x. Tìm nguyên hàm của hàm số f′(x)lnx

(THPTQG – 2017 – 104) Cho \( F(x)=\frac{1}{2{{x}^{2}}} \) là một nguyên hàm của hàm số  \( \frac{f(x)}{x} \). Tìm nguyên hàm của hàm số  \( {f}'(x)\ln x  \).

A. \(\int{{f}'(x)\ln xdx}=-\left( \frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+C\)

B. \(\int{{f}'(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{2{{x}^{2}}}+C\)

C. \(\int{{f}'(x)\ln xdx}=-\left( \frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{2{{x}^{2}}} \right)+C\)

D. \(\int{{f}'(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+C\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có: \(\int{\frac{f(x)}{x}dx}=F(x)\Rightarrow {F}'(x)=\frac{f(x)}{x}=-\frac{1}{{{x}^{3}}}\)\(\Rightarrow f(x)=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {f}'(x)=\frac{2}{{{x}^{3}}}\)

Suy ra:  \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=\int{\frac{2}{{{x}^{3}}}\ln xdx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=\ln x \\  & dv=\frac{2}{{{x}^{3}}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=\frac{dx}{x} \\  & v=-\frac{1}{{{x}^{2}}} \\ \end{align} \right. \)

Khi đó:  \( \int{{f}'(x)\ln xdx}=\int{\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}dx}=-\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\int{\frac{1}{{{x}^{3}}}dx}=-\left( \frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{2{{x}^{2}}} \right)+C  \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Họ nguyên hàm của hàm số y=((2x^2+x)lnx+1)/x là

Họ nguyên hàm của hàm số \( y=\frac{(2{{x}^{2}}+x)\ln x+1}{x} \) là

A. \( ({{x}^{2}}+x+1)\ln x-\frac{{{x}^{2}}}{2}+x+C \)                            

B.  \( ({{x}^{2}}+x-1)\ln x+\frac{{{x}^{2}}}{2}-x+C  \)

C. \( ({{x}^{2}}+x+1)\ln x-\frac{{{x}^{2}}}{2}-x+C \)                              

D.  \( ({{x}^{2}}+x-1)\ln x-\frac{{{x}^{2}}}{2}+x+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( \int{\frac{(2{{x}^{2}}+x)\ln x+1}{x}dx}=\int{(2x+1)\ln xdx}+\int{\frac{1}{x}dx}=\int{(2x+1)\ln xdx}+\ln \left| x \right|+{{C}_{1}} \)

Tính  \( \int{(2x+1)\ln xdx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=\ln x \\  & dv=(2x+1)dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=\frac{1}{x}dx \\ & v={{x}^{2}}+x \\ \end{align} \right. \)

 \(\int{(2x+1)\ln xdx}=({{x}^{2}}+x)\ln x-\int{({{x}^{2}}+x)\frac{1}{x}dx}\)

\(=({{x}^{2}}+x)\ln x-\int{(x+1)dx}=({{x}^{2}}+x)\ln x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+{{C}_{2}}\)

 \( \Rightarrow \int{\frac{(2{{x}^{2}}+x)\ln x+1}{x}dx}=({{x}^{2}}+x)\ln x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+{{C}_{2}}+\ln x+{{C}_{1}} \)

 \( =({{x}^{2}}+x+1)\ln x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+C  \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Cho biết F(x)=1/3x^3+2x−1/x là một nguyên hàm của f(x)=(x^2+a)^2/x^2. Tìm nguyên hàm của g(x)=xcosax

Cho biết \( F(x)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+2x-\frac{1}{x} \) là một nguyên hàm của  \( f(x)=\frac{{{({{x}^{2}}+a)}^{2}}}{{{x}^{2}}} \). Tìm nguyên hàm của  \( g(x)=x\cos ax  \).

A. \( x\sin x-\cos x+C \)                                             

B.  \( \frac{1}{2}x\sin 2x-\frac{1}{4}\cos 2x+C  \)

C. \( x\sin x+\cos x+C \)                                          

D.  \( \frac{1}{2}x\sin 2x+\frac{1}{4}\cos 2x+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {F}'(x)={{x}^{2}}+2+\frac{1}{{{x}^{2}}}=\frac{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}{{{x}^{2}}} \).

Do F(x) là một nguyên hàm của  \( f(x)=\frac{{{({{x}^{2}}+a)}^{2}}}{{{x}^{2}}} \) nên a = 1.

 \( \int{g(x)dx}=\int{x\cos xdx} \)

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x \\  & dv=\cos xdx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=dx \\  & v=\sin x \\ \end{align} \right. \)

 \( \int{g(x)dx}=\int{x\cos xdx}=x\sin x-\int{\sin xdx}=x\sin x+\cos x+C  \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Cho hai hàm số F(x), G(x) xác định và có đạo hàm lần lượt là f(x), g(x) trên R. Biết rằng F(x).G(x)=x^2ln(x^2+1) và F(x).g(x)=2x^3/(x^2+1). Họ nguyên hàm của f(x).G(x) là

Cho hai hàm số F(x), G(x) xác định và có đạo hàm lần lượt là f(x), g(x) trên \( \mathbb{R} \). Biết rằng  \( F(x).G(x)={{x}^{2}}\ln ({{x}^{2}}+1) \) và  \( F(x).g(x)=\frac{2{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1} \). Họ nguyên hàm của  \( f(x).G(x) \) là:

A. \( ({{x}^{2}}+1)\ln ({{x}^{2}}+1)+2{{x}^{2}}+C \)                          

B.  \( ({{x}^{2}}+1)\ln ({{x}^{2}}+1)-2{{x}^{2}}+C  \)

C. \( ({{x}^{2}}+1)\ln ({{x}^{2}}+1)-{{x}^{2}}+C \)                              

D.  \( ({{x}^{2}}+1)\ln ({{x}^{2}}+1)+{{x}^{2}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có: \(F(x).G(x)=\int{{{\left[ F(x).G(x) \right]}^{\prime }}dx}=\int{\left[ {{\left[ F(x) \right]}^{\prime }}.G(x)+F(x).{{\left[ G(x) \right]}^{\prime }} \right]dx}\)

\(\Rightarrow \int{{{\left[ F(x) \right]}^{\prime }}.G(x)dx}=F(x).G(x)-\int{F(x).{{\left[ G(x) \right]}^{\prime }}dx}={{x}^{2}}\ln ({{x}^{2}}+1)-\int{\frac{2{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1}dx}\)

\(={{x}^{2}}\ln ({{x}^{2}}+1)-({{x}^{2}}+1)+\ln ({{x}^{2}}+1)+C=({{x}^{2}}+1)\ln ({{x}^{2}}+1)-{{x}^{2}}+C\)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)=x/sin2x trên khoảng (0;π) là

Tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x)=\frac{x}{{{\sin }^{2}}x} \) trên khoảng  \( (0;\pi ) \) là:

A. \(-x\cot x+\ln (\sin x)+C\)

B. \(x\cot x-\ln \left| \sin x \right|+C\)

C. \(x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C\)

D. \(-x\cot x-\ln (\sin x)+C\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

 \( F(x)=\int{f(x)dx}=\int{\frac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx} \)

Đặt  \( \left\{ \begin{align} & u=x \\  & dv=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=dx \\  & v=-\cot x \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( F(x)=\int{\frac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx}=-x.\cot x+\int{\cot xdx}=-x.\cot x+\int{\frac{\cos x}{\sin x}dx} \)

 \( =-x.\cot x+\int{\frac{1}{\sin x}d(\sin x)}=-x.\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C  \).

Với  \( x\in (0;\pi )\Rightarrow \sin x>0\Rightarrow \ln \left| \sin x \right|=\ln (\sin x) \).

Vậy  \( F(x)=-x.\cot x+\ln (\sin x)+C  \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Giả sử F(x)=(ax^2+bx+c)e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x)=x^2e^x. Tính tích P=abc

Giả sử \( F(x)=(a{{x}^{2}}+bx+c){{e}^{x}} \) là một nguyên hàm của hàm số  \( f(x)={{x}^{2}}{{e}^{x}} \). Tính tích  \( P=abc  \).

A. -4

B. 1                                   

C. -5                                 

D. -3

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u={{x}^{2}}\Rightarrow du=2xdx \\  & dv={{e}^{x}}dx\Rightarrow v={{e}^{x}} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow \int{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx}={{x}^{2}}{{e}^{x}}-2\int{x{{e}^{x}}dx} \)

Ta đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=xdx \\  & dv={{e}^{x}}dx\Rightarrow v={{e}^{x}} \\ \end{align} \right. \)

\(\Rightarrow \int{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx}={{x}^{2}}{{e}^{x}}-2\left( x{{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx} \right)=\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right){{e}^{x}}\)

Vậy,  \( a=1,b=-2,c=2\Rightarrow P=abc=-4 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết cos2x là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f′(x)e^x là

(Đề Minh Họa – 2020 – Lần 1) Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \). Biết  \( \cos 2x  \) là một nguyên hàm của hàm số  \( f(x){{e}^{x}} \), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  \( {f}'(x){{e}^{x}} \) là

A. \( -\sin 2x+\cos 2x+C \)                                                                                  

B.  \( -2\sin 2x+\cos 2x+C  \)     

C. \( -2\sin 2x-\cos 2x+C \)                                                                                 

D.  \( 2\sin 2x-\cos 2x+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Do  \( \cos 2x  \) là một nguyên hàm của hàm số  \( f(x){{e}^{x}} \) nên  \( f(x){{e}^{x}}=(\cos 2x{)}’\Leftrightarrow f(x){{e}^{x}}=-2\sin 2x  \).

Khi đó, ta có  \( \int{f(x){{e}^{x}}dx}=\cos 2x+C  \)

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=f(x) \\  & dv={{e}^{x}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du={f}'(x)dx \\  & v={{e}^{x}} \\ \end{align} \right. \)

Khi đó  \( \int{f(x){{e}^{x}}dx}=\cos 2x+C\Leftrightarrow \int{f(x)d({{e}^{x}})}=\cos 2x+C  \)

 \( \Leftrightarrow f(x){{e}^{x}}-\int{{f}'(x){{e}^{x}}dx}=\cos 2x+C\Leftrightarrow \int{{f}'(x){{e}^{x}}dx}=-2\sin 2x-\cos 2x+C  \)

Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số  \( {f}'(x){{e}^{x}} \) là  \( -2\sin 2x-\cos 2x+C  \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Cho hàm số f(x)=x/√(x^2+4). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g(x)=(x+1)f′(x) là

(THPTQG – 2020 – 104 – Lần 1) Cho hàm số \( f(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}} \). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  \( g(x)=(x+1){f}'(x) \) là

A. \(\frac{x+4}{2\sqrt{{{x}^{2}}+4}}+C\)

B. \(\frac{x-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}+C\)

C. \(\frac{{{x}^{2}}+2x-4}{2\sqrt{{{x}^{2}}+4}}+C\)                                

D. \(\frac{{{x}^{2}}+x+4}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}+C\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có: \(\int{g(x)dx}=\int{(x+1){f}'(x)dx}\)

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x+1 \\  & dv={f}'(x)dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=dx \\ & v=f(x) \\ \end{align} \right. \)

Suy ra: \(\int{g(x)dx}=(x+1)f(x)-\int{f(x)dx}=\frac{(x+1)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}-\int{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}dx}\)

\(=\frac{{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}-\int{\frac{1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+4}}d({{x}^{2}}+4)}=\frac{{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}-\sqrt{{{x}^{2}}+4}+C=\frac{x-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}+C\)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Cho hàm số f(x)=x/√(x^2+1). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g(x)=(x+1)f′(x)

(THPTQG – 2020 – 103 – Lần 1) Cho hàm số \( f(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  \( g(x)=(x+1){f}'(x) \).

A. \( \frac{{{x}^{2}}+2x-1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C \)                            

B.  \( \frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C  \)                  

C.  \( \frac{2{{x}^{2}}+x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C  \)                                     

D.  \( \frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Xét \( \int{g(x)dx}=\int{(x+1){f}'(x)dx} \)

Đặt \( \left\{ \begin{align} & u=x+1 \\  & dv={f}'(x)dx \\ \end{align} \right. \)  \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=dx \\  & v=f(x) \\ \end{align} \right. \)

Vậy  \( \int{g(x)dx}=(x+1)f(x)-\int{f(x)dx}=\frac{(x+1)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-\int{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx} \)

 \( =\frac{(x+1)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C=\frac{{{x}^{2}}+x-{{x}^{2}}-1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C=\frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C  \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Cho hàm số f(x)=x/√(x^2+3). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g(x)=(x+1)f′(x) là

(THPTQG – 2020 – 102 – Lần 1) Cho hàm số \( f(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}} \). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  \( g(x)=(x+1){f}'(x) \) là:

A. \( \frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2\sqrt{{{x}^{2}}+3}}+C \)                            

B.  \( \frac{x+3}{2\sqrt{{{x}^{2}}+3}}+C  \)                

C.  \( \frac{2{{x}^{2}}+x+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}+C  \)                                     

D.  \( \frac{x-3}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( \int{(x+1){f}'(x)dx}=(x+1)f(x)-\int{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}dx}=\frac{x-3}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}+C  \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Cho hàm số f(x)=x/√(x^2+2). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g(x)=(x+1).f′(x) là

(THPTQG – 2020 – 101 – Lần 1) Cho hàm số \( f(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}} \). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  \( g(x)=(x+1).{f}'(x) \) là:

A. \( \frac{{{x}^{2}}+2x-2}{2\sqrt{{{x}^{2}}+2}}+C \)                            

B.  \( \frac{x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}+C  \)                    

C.  \( \frac{{{x}^{2}}+2x+2}{2\sqrt{{{x}^{2}}+2}}+C  \)                                   

D.  \( \frac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Tính  \( g(x)=\int{\left( x+1 \right){f}'(x)dx}=(x+1)f(x)-\int{(x+1{)}’f(x)dx} \)

 \( =\frac{{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}-\int{f(x)dx}=\frac{{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}-\int{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}dx} \)

 \( =\frac{{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}-\sqrt{{{x}^{2}}+2}+C=\frac{x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}+C  \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

  • Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
  • Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
  • Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
  • Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
  • Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
  • Học phí giá rẻ - bình dân!
  • Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!