Đường thẳng y=12 cắt (C1), trục Oy, (C2) lần lượt tại M, H, N. Biết H là trung điểm của MN và MNPQ có diện tích bằng 32 (với P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của N, M trên trục hoành)

Cho hàm số  \( y={{a}^{x}} \),  \( y={{\log }_{b}}x \) lần lượt có đồ thị (C1), (C2) như hình vẽ bên. Đường thẳng  \( y=\frac{1}{2} \) cắt (C1), trục Oy, (C2) lần lượt tại M, H, N. Biết H là trung điểm của MN và MNPQ có diện tích bằng  \( \frac{3}{2} \) (với P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của N, M trên trục hoành). Giá trị của biểu thức  \( T={{a}^{3}}+4b \) bằng bao nhiêu?

A. 16

B. 15

C. 13

D. 17

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

Do N thuộc đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\) nên gọi \(N\left( {{x}_{0}};\frac{1}{2} \right)\) với \({{x}_{0}}>0\). Khi đó: \(\left\{ \begin{align}& HN={{x}_{0}} \\& NP=\frac{1}{2} \\\end{align} \right.\).

Suy ra: \(\frac{3}{2}={{S}_{MNPQ}}=NM.NP\) \(=2HN.NP=2{{x}_{0}}.\frac{1}{2}={{x}_{0}}\).

Vậy \({{x}_{0}}=\frac{3}{2}\Rightarrow N\left( \frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)\).

Vì H là trung điểm của MN \(\Rightarrow M,N\) đối xứng nhau qua trục Oy \(\Rightarrow M\left( -\frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)\).

Do \( \left\{ \begin{align}& M\in ({{C}_{1}}) \\& N\in ({{C}_{2}}) \\\end{align} \right. \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{1}{2}={{a}^{-\frac{3}{2}}} \\& \frac{1}{2}={{\log }_{b}}\frac{3}{2} \\\end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-\frac{2}{3}}}=a \\& 2={{\log }_{b}}\frac{3}{2} \\\end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a={{2}^{\frac{2}{3}}} \\& b={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}} \\\end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}^{3}}=4 \\& 4b=9 \\\end{align} \right. \)

\(\Rightarrow T={{a}^{3}}+4b=13\)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y=logax; y=b^x và y=c^x được cho trong hình vẽ bên

Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số  \( y={{\log }_{a}}x \),  \( y={{b}^{x}} \) và  \( y={{c}^{x}} \) được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. c < a < b

B. b < c < a

C. a < b < c

D. c < b < a

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

+ Kẻ đường thẳng x = 1 cắt các đồ thị hàm số  \( y={{b}^{x}};y={{c}^{x}} \) lần lượt tại các điểm tung độ là b, c (như hình vẽ). Lúc này dựa vào hình vẽ ta biết: \( c < 1 < b\begin{matrix}{} & (*)  \\\end{matrix}. \)

+ Kẻ đường thẳng y = 1 cắt đồ thị  \( y={{\log }_{a}}x \) tại điểm có hoành độ là a (như hình vẽ). So sánh a, b trên hình vẽ ta được:  \( 1<a

Từ (*) và (**) suy ra:  \( c<a

Chú ý: Nếu cần so sánh với cả số 1 thì ta có kết quả “chặt hơn” là: \( c<1<a

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho các hàm số y=logax và y=logbx có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x = 7 cắt trục hoành, đồ thị hàm số y=logax và y=logbx lần lượt tại H, M và N

Cho các hàm số  \( y={{\log }_{a}}x \) và  \( y={{\log }_{b}}x \) có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x = 7 cắt trục hoành, đồ thị hàm số  \( y={{\log }_{a}}x \) và  \( y={{\log }_{b}}x \) lần lượt tại H, M và N. Biết rằng HM = MN. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. a = 7b

B. a = 2b

C. a = b7

D. a = b2

 

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Ta có: \( \left\{ \begin{align}& HN={{\log }_{b}}7 \\& HM={{\log }_{a}}7 \\\end{align} \right. \)  \( \xrightarrow{HM=MN}HN=2HM \)  \( \Leftrightarrow {{\log }_{b}}7=2{{\log }_{a}}7\Leftrightarrow \frac{1}{{{\log }_{7}}b}=\frac{2}{{{\log }_{7}}a} \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{7}}a=2{{\log }_{7}}b \) \( \Leftrightarrow {{\log }_{7}}a={{\log }_{7}}{{b}^{2}}\Leftrightarrow a={{b}^{2}} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong các số thực dương a, b, c, d khác 1. Đồ thị hàm số y=logax; y=logbx; y=logcx và y=logdx được cho trong hình vẽ bên

Trong các số thực dương a, b, c, d khác 1. Đồ thị hàm số  \( y={{\log }_{a}}x \);  \( y={{\log }_{b}}x \);  \( y={{\log }_{c}}x \) và  \( y={{\log }_{d}}x \) được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. a > b > 1 > c > d

B. d > c > 1 > a > b

C. a > b > 1 > d > c

D. b > a > 1 > d > c

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Kẻ đường thẳng y = 1 cắt các đồ thị hàm số \(y={{\log }_{a}}x;y={{\log }_{b}}x;y={{\log }_{c}}x\) và \(y={{\log }_{d}}x\) lần lượt tại các điểm có hoành độ là a, b, c, d (như hình vẽ). Lúc này hình vẽ cho ta biết luôn thứ tự của a, b, c, d là \(b>a>1>d>c\)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!