Hướng dẫn giải:

Đáp án C

Do N thuộc đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\) nên gọi \(N\left( {{x}_{0}};\frac{1}{2} \right)\) với \({{x}_{0}}>0\). Khi đó: \(\left\{ \begin{align}& HN={{x}_{0}} \\& NP=\frac{1}{2} \\\end{align} \right.\).

Suy ra: \(\frac{3}{2}={{S}_{MNPQ}}=NM.NP\) \(=2HN.NP=2{{x}_{0}}.\frac{1}{2}={{x}_{0}}\).

Vậy \({{x}_{0}}=\frac{3}{2}\Rightarrow N\left( \frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)\).

Vì H là trung điểm của MN \(\Rightarrow M,N\) đối xứng nhau qua trục Oy \(\Rightarrow M\left( -\frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)\).

Do \( \left\{ \begin{align}& M\in ({{C}_{1}}) \\& N\in ({{C}_{2}}) \\\end{align} \right. \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{1}{2}={{a}^{-\frac{3}{2}}} \\& \frac{1}{2}={{\log }_{b}}\frac{3}{2} \\\end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-\frac{2}{3}}}=a \\& 2={{\log }_{b}}\frac{3}{2} \\\end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a={{2}^{\frac{2}{3}}} \\& b={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}} \\\end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}^{3}}=4 \\& 4b=9 \\\end{align} \right. \)

\(\Rightarrow T={{a}^{3}}+4b=13\)