Phương trình 2019^sinx=sinx+√2−cos^2x có bao nhiêu nghiệm thực trên [−5π;2019π]

Phương trình \( {{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x} \) có bao nhiêu nghiệm thực trên  \( \left[ -5\pi ;2019\pi  \right] \)?

A. 2025.

B. 2017.

C. 2022.                           

D. Vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Xét  \( {{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow {{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{1+{{\sin }^{2}}x}\,\,\,\,\,(1) \)

Đặt  \( t=\sin x,\,\,t\in [-1;1] \).

Khi đó (1) trở thành  \( {{2019}^{t}}=t+\sqrt{1+{{t}^{2}}}\Leftrightarrow {{2019}^{t}}\left( t-\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)=-1\,\,\,\,\,\,\,(2) \).

Xét hàm số:  \( f(t)={{2019}^{t}}\left( t-\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right),\,\,\forall t\in [-1;1] \)

 \( \Rightarrow {f}'(t)=\frac{{{2019}^{t}}\left( t-\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)\left( \sqrt{1+{{t}^{2}}}\ln 2019-1 \right)}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}} \).

Cho  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t-\sqrt{1+{{t}^{2}}}=0 \\  & \sqrt{1+{{t}^{2}}}\ln 2019-1=0 \\ \end{align} \right. \) vô nghiệm  \( \Rightarrow {f}'(t)<0,\,\,\forall t\in [-1;1] \).

 \( \Rightarrow (2) \) có nghiệm duy nhất  \( t=0\Rightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \).

Mà  \( x\in [-5\pi ;2019\pi ]\Rightarrow -5\pi \le k\pi \le 2019\pi \Leftrightarrow -5\le k\le 2019\Rightarrow k\in [-5;2019] \).

Kết luận: Có 2025 nghiệm thực trên  \( [-5\pi ;2019\pi ] \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *