Phương trình 2019^sinx=sinx+√2−cos^2x có bao nhiêu nghiệm thực trên [−5π;2019π]

Phương trình \( {{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x} \) có bao nhiêu nghiệm thực trên  \( \left[ -5\pi ;2019\pi  \right] \)?

A. 2025.

B. 2017.

C. 2022.                           

D. Vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Xét  \( {{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow {{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{1+{{\sin }^{2}}x}\,\,\,\,\,(1) \)

Đặt  \( t=\sin x,\,\,t\in [-1;1] \).

Khi đó (1) trở thành  \( {{2019}^{t}}=t+\sqrt{1+{{t}^{2}}}\Leftrightarrow {{2019}^{t}}\left( t-\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)=-1\,\,\,\,\,\,\,(2) \).

Xét hàm số:  \( f(t)={{2019}^{t}}\left( t-\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right),\,\,\forall t\in [-1;1] \)

 \( \Rightarrow {f}'(t)=\frac{{{2019}^{t}}\left( t-\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)\left( \sqrt{1+{{t}^{2}}}\ln 2019-1 \right)}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}} \).

Cho  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t-\sqrt{1+{{t}^{2}}}=0 \\  & \sqrt{1+{{t}^{2}}}\ln 2019-1=0 \\ \end{align} \right. \) vô nghiệm  \( \Rightarrow {f}'(t)<0,\,\,\forall t\in [-1;1] \).

 \( \Rightarrow (2) \) có nghiệm duy nhất  \( t=0\Rightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \).

Mà  \( x\in [-5\pi ;2019\pi ]\Rightarrow -5\pi \le k\pi \le 2019\pi \Leftrightarrow -5\le k\le 2019\Rightarrow k\in [-5;2019] \).

Kết luận: Có 2025 nghiệm thực trên  \( [-5\pi ;2019\pi ] \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *