Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 2^x=3^y=6^−z. Giá trị của biểu thức M=xy+yz+xz là

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đặt  \( {{2}^{x}}={{3}^{y}}={{6}^{-z}}=t \) với  \( t>0 \).

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {{2}^{x}}=t \\  & {{3}^{y}}=t \\  & {{6}^{-z}}=t \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & x={{\log }_{2}}t \\  & y={{\log }_{3}}t \\  & z=-{{\log }_{6}}t \\ \end{align} \right. \).

Mặt khác:  \( {{\log }_{6}}t=\frac{1}{{{\log }_{t}}6}=\frac{1}{{{\log }_{t}}3+{{\log }_{t}}2}=\frac{1}{\frac{1}{{{\log }_{3}}t}+\frac{1}{{{\log }_{2}}t}}=\frac{{{\log }_{3}}t.{{\log }_{2}}t}{{{\log }_{3}}t+{{\log }_{2}}t} \).

 \( M=xy+yz+xz={{\log }_{3}}t.{{\log }_{2}}t-{{\log }_{3}}t.{{\log }_{6}}t-{{\log }_{6}}t.{{\log }_{2}}t \)

 \( ={{\log }_{3}}t.{{\log }_{2}}t-({{\log }_{3}}t+{{\log }_{2}}t).{{\log }_{6}}t={{\log }_{3}}t.{{\log }_{2}}t-({{\log }_{3}}t+{{\log }_{2}}t).\frac{{{\log }_{3}}t.{{\log }_{2}}t}{{{\log }_{3}}t+{{\log }_{2}}t}=0 \).