Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết cos2x là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f′(x)e^x là

(Đề Minh Họa – 2020 – Lần 1) Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \). Biết  \( \cos 2x  \) là một nguyên hàm của hàm số  \( f(x){{e}^{x}} \), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  \( {f}'(x){{e}^{x}} \) là

A. \( -\sin 2x+\cos 2x+C \)                                                                                  

B.  \( -2\sin 2x+\cos 2x+C  \)     

C. \( -2\sin 2x-\cos 2x+C \)                                                                                 

D.  \( 2\sin 2x-\cos 2x+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Do  \( \cos 2x  \) là một nguyên hàm của hàm số  \( f(x){{e}^{x}} \) nên  \( f(x){{e}^{x}}=(\cos 2x{)}’\Leftrightarrow f(x){{e}^{x}}=-2\sin 2x  \).

Khi đó, ta có  \( \int{f(x){{e}^{x}}dx}=\cos 2x+C  \)

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=f(x) \\  & dv={{e}^{x}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du={f}'(x)dx \\  & v={{e}^{x}} \\ \end{align} \right. \)

Khi đó  \( \int{f(x){{e}^{x}}dx}=\cos 2x+C\Leftrightarrow \int{f(x)d({{e}^{x}})}=\cos 2x+C  \)

 \( \Leftrightarrow f(x){{e}^{x}}-\int{{f}'(x){{e}^{x}}dx}=\cos 2x+C\Leftrightarrow \int{{f}'(x){{e}^{x}}dx}=-2\sin 2x-\cos 2x+C  \)

Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số  \( {f}'(x){{e}^{x}} \) là  \( -2\sin 2x-\cos 2x+C  \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *