Cho các số thực x, y với \( x\ge 0 \) thỏa mãn \( {{e}^{x+3y}}+{{e}^{xy+1}}+x(y+1)+1={{e}^{-xy-1}}+\frac{1}{{{e}^{x+3y}}}-3y \). Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( T=x+2y+1 \). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \( m\in (2;3) \).
B. \( m\in (-1;0) \).
C. \( m\in (0;1) \).
D. \( m\in (1;2) \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Từ giả thiết \( {{e}^{x+3y}}+{{e}^{xy+1}}+x(y+1)+1={{e}^{-xy-1}}+\frac{1}{{{e}^{x+3y}}}-3y \)
\( \Leftrightarrow {{e}^{x+3y}}-\frac{1}{{{e}^{x+3y}}}+(x+3y)={{e}^{-xy-1}}-\frac{1}{{{e}^{-xy-1}}}+(-xy-1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \)
Xét hàm số \( f(t)={{e}^{t}}-\frac{1}{{{e}^{t}}}+t \) với \( t\in \mathbb{R} \) ta có \( {f}'(t)={{e}^{t}}+\frac{1}{{{e}^{t}}}+1>0,\,\,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow f(t) \) là hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \).
Phương trình (1) có dạng \( f(x+3y)=f(-xy-1)\Rightarrow x+3y=-xy-1\Rightarrow y=\frac{-x-1}{x+3}\,\,(x\ge 0) \).
Khi đó \( T=x+2y+1=x-\frac{2x+2}{x+3}+1\Rightarrow T’=1-\frac{4}{{{(x+3)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+6x+5}{{{(x+3)}^{2}}}>0,\,\,\forall x\ge 0 \).
\( \Rightarrow {{T}_{\min }}=0-\frac{2.0+2}{0+3}+1=\frac{1}{3}=m \).
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!