Cho các số thực x, y với x≥0 thỏa mãn e^x+3y+e^xy+1+x(y+1)+1=e^−xy−1+1/e^x+3y−3y. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=x+2y+1

Cho các số thực x, y với \( x\ge 0 \) thỏa mãn  \( {{e}^{x+3y}}+{{e}^{xy+1}}+x(y+1)+1={{e}^{-xy-1}}+\frac{1}{{{e}^{x+3y}}}-3y \). Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \( T=x+2y+1 \). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \( m\in (2;3) \).

B.  \( m\in (-1;0) \).          

C.  \( m\in (0;1) \).           

D.  \( m\in (1;2) \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Từ giả thiết  \( {{e}^{x+3y}}+{{e}^{xy+1}}+x(y+1)+1={{e}^{-xy-1}}+\frac{1}{{{e}^{x+3y}}}-3y \)

 \( \Leftrightarrow {{e}^{x+3y}}-\frac{1}{{{e}^{x+3y}}}+(x+3y)={{e}^{-xy-1}}-\frac{1}{{{e}^{-xy-1}}}+(-xy-1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \)

Xét hàm số  \( f(t)={{e}^{t}}-\frac{1}{{{e}^{t}}}+t \) với  \( t\in \mathbb{R} \) ta có  \( {f}'(t)={{e}^{t}}+\frac{1}{{{e}^{t}}}+1>0,\,\,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow f(t) \) là hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \).

Phương trình (1) có dạng  \( f(x+3y)=f(-xy-1)\Rightarrow x+3y=-xy-1\Rightarrow y=\frac{-x-1}{x+3}\,\,(x\ge 0) \).

Khi đó  \( T=x+2y+1=x-\frac{2x+2}{x+3}+1\Rightarrow T’=1-\frac{4}{{{(x+3)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+6x+5}{{{(x+3)}^{2}}}>0,\,\,\forall x\ge 0 \).

 \( \Rightarrow {{T}_{\min }}=0-\frac{2.0+2}{0+3}+1=\frac{1}{3}=m \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *