Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho đường thẳng y=x+m cắt đồ thị hàm số y=(2x−1)/(x+1) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN≤10

Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho đường thẳng \( y=x+m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x-1}{x+1} \) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho  \( MN\le 10 \).

A. 2

B. 3

C. 1                                   

D. 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Điều kiện xác định của hàm số:  \( x\ne -1 \)

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( \frac{2x-1}{x+1}=x+m  \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m+1=0 \\  & x\ne -1 \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng  \( y=x+m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x-1}{x+1} \) tại hai điểm phân biệt M, N khi và chỉ khi phương trình  \( {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m+1=0 \) có hai nghiệm phân biệt khác -1.

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \Delta >0 \\  & x\ne -1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-6m-3>0 \\ & 3\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m<3-2\sqrt{3} \\ & m>3+2\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \) (*)

Gọi  \( M\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right) \),  \( N\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right) \) là tọa độ giao điểm đường thẳng  \( y=x+m  \) và đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x-1}{x+1} \).

Theo bài cho  \( MN\le 10\Leftrightarrow \sqrt{2{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}\le 10 \) \( \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\le 50 \)

Áp dụng định lí Viet cho phương trình  \( {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m+1=0 \), ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-m \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m+1 \\ \end{align} \right. \)

Ta có: \(MN\le 10\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\le 50\)\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m-53\le 0\Leftrightarrow 3-\sqrt{62}\le m\le 3+\sqrt{62}\)

Kết hợp với (*) thì  \( m\in \left( 3-\sqrt{62};3-2\sqrt{3} \right)\cup \left( 3+2\sqrt{3};3+\sqrt{62} \right) \)

Mà  \( m\in {{\mathbb{Z}}^{*}}\xrightarrow{{}}m\in \left\{ 7;8;9;10 \right\} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *