Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho đường thẳng y=x+m cắt đồ thị hàm số y=(2x−1)/(x+1) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN≤10

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Điều kiện xác định của hàm số:  \( x\ne -1 \)

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( \frac{2x-1}{x+1}=x+m  \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m+1=0 \\  & x\ne -1 \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng  \( y=x+m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x-1}{x+1} \) tại hai điểm phân biệt M, N khi và chỉ khi phương trình  \( {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m+1=0 \) có hai nghiệm phân biệt khác -1.

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \Delta >0 \\  & x\ne -1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-6m-3>0 \\ & 3\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m<3-2\sqrt{3} \\ & m>3+2\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \) (*)

Gọi  \( M\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right) \),  \( N\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right) \) là tọa độ giao điểm đường thẳng  \( y=x+m  \) và đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x-1}{x+1} \).

Theo bài cho  \( MN\le 10\Leftrightarrow \sqrt{2{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}\le 10 \) \( \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\le 50 \)

Áp dụng định lí Viet cho phương trình  \( {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m+1=0 \), ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-m \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m+1 \\ \end{align} \right. \)

Ta có: \(MN\le 10\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\le 50\)\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m-53\le 0\Leftrightarrow 3-\sqrt{62}\le m\le 3+\sqrt{62}\)

Kết hợp với (*) thì  \( m\in \left( 3-\sqrt{62};3-2\sqrt{3} \right)\cup \left( 3+2\sqrt{3};3+\sqrt{62} \right) \)

Mà  \( m\in {{\mathbb{Z}}^{*}}\xrightarrow{{}}m\in \left\{ 7;8;9;10 \right\} \)