Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho đường thẳng \( y=x+m \) cắt đồ thị hàm số \( y=\frac{2x-1}{x+1} \) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho \( MN\le 10 \).
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Điều kiện xác định của hàm số: \( x\ne -1 \)
Phương trình hoành độ giao điểm: \( \frac{2x-1}{x+1}=x+m \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m+1=0 \\ & x\ne -1 \\ \end{align} \right. \)
Đường thẳng \( y=x+m \) cắt đồ thị hàm số \( y=\frac{2x-1}{x+1} \) tại hai điểm phân biệt M, N khi và chỉ khi phương trình \( {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m+1=0 \) có hai nghiệm phân biệt khác -1.
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta >0 \\ & x\ne -1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-6m-3>0 \\ & 3\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<3-2\sqrt{3} \\ & m>3+2\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \) (*)
Gọi \( M\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right) \), \( N\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right) \) là tọa độ giao điểm đường thẳng \( y=x+m \) và đồ thị hàm số \( y=\frac{2x-1}{x+1} \).
Theo bài cho \( MN\le 10\Leftrightarrow \sqrt{2{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}\le 10 \) \( \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\le 50 \)
Áp dụng định lí Viet cho phương trình \( {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m+1=0 \), ta có: \( \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-m \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m+1 \\ \end{align} \right. \)
Ta có: \(MN\le 10\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\le 50\)\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m-53\le 0\Leftrightarrow 3-\sqrt{62}\le m\le 3+\sqrt{62}\)
Kết hợp với (*) thì \( m\in \left( 3-\sqrt{62};3-2\sqrt{3} \right)\cup \left( 3+2\sqrt{3};3+\sqrt{62} \right) \)
Mà \( m\in {{\mathbb{Z}}^{*}}\xrightarrow{{}}m\in \left\{ 7;8;9;10 \right\} \)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!