Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = a, AC=a√3, mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 30O

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

+ Xác định góc giữa mặt phẳng (A’BC) và mặt phẳng đáy:

Trong mặt phẳng (ABC), dựng AH \( \bot \) BC với H nằm trên cạnh BC. Theo định lí ba đường vuông góc, ta có: A’H \( \bot \) BC.

Vậy  \( \widehat{\left( (A’BC),(ABC) \right)}=\widehat{A’HA}={{30}^{0}} \)

+ Xét tam giác ABC có:  \( \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{\sqrt{3}}{2}a  \)

Diện tích cùa tam giác ABC là:  \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}} \).

+ Xét tam giác A’HA vuông tại A, ta có:  \( A’A=AH.\tan {{30}^{0}}=\frac{1}{2}a  \)

Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’:  \( V={{S}_{\Delta ABC}}.AA’=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \)