Cho hàm số f(x)=x/√(x^2+4). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g(x)=(x+1)f′(x) là

(THPTQG – 2020 – 104 – Lần 1) Cho hàm số \( f(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}} \). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  \( g(x)=(x+1){f}'(x) \) là

A. \(\frac{x+4}{2\sqrt{{{x}^{2}}+4}}+C\)

B. \(\frac{x-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}+C\)

C. \(\frac{{{x}^{2}}+2x-4}{2\sqrt{{{x}^{2}}+4}}+C\)                                

D. \(\frac{{{x}^{2}}+x+4}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}+C\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có: \(\int{g(x)dx}=\int{(x+1){f}'(x)dx}\)

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x+1 \\  & dv={f}'(x)dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=dx \\ & v=f(x) \\ \end{align} \right. \)

Suy ra: \(\int{g(x)dx}=(x+1)f(x)-\int{f(x)dx}=\frac{(x+1)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}-\int{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}dx}\)

\(=\frac{{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}-\int{\frac{1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+4}}d({{x}^{2}}+4)}=\frac{{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}-\sqrt{{{x}^{2}}+4}+C=\frac{x-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}+C\)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *