cho điểm A(0;1;-2), mặt phẳng (P):x+y+z+1=0 và mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y−7=0. Gọi Δ là đường thẳng đi qua A và Δ nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm B, C sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I là tâm của mặt cầu (S)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;0) và bán kính  \( R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+7}=2\sqrt{3} \).

 \( \overrightarrow{AI}=(1;1;2)\Rightarrow AI=\sqrt{6}<R\Rightarrow A  \) nằm trong mặt cầu (S) và A nằm trên dây cung BC (1).

 \( {{S}_{\Delta IBC}}=\frac{1}{2}IB.IC.\sin \widehat{BIC}=\frac{{{R}^{2}}}{2}\sin \widehat{BIC}\le \frac{{{R}^{2}}}{2} \) nên diện tích  \( \Delta IBC  \) đạt giá trị lớn nhất là  \( \frac{{{R}^{2}}}{2}\Leftrightarrow \sin \widehat{BIC}=1\Rightarrow \widehat{BIC}={{90}^{O}}\Rightarrow \Delta IBC  \) vuông cân tại I  \( \Rightarrow BC=IC\sqrt{2}=R\sqrt{2}=2\sqrt{6} \).

Gọi J là trung điểm của BC. Ta có:  \( IJ\bot BC  \) và  \( IJ=\frac{BC}{2}=\sqrt{6} \)   (2).

 \( \Delta AIJ  \) vuông tại J  \( \Rightarrow AI\ge IJ  \), kết hợp thêm với (1) và (2) ta có  \( IJ=AI\Rightarrow A\equiv J\Rightarrow A  \) là trung điểm của BC và  \( IA\bot BC  \).

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến  \( {{\vec{n}}_{P}}=(1;1;1) \) có giá vuông góc với  \( \Delta  \).

Vậy  \( \Delta  \) nhận  \( \vec{u}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},\overrightarrow{AI} \right]=(1;-1;0) \) làm vectơ chỉ phương và đi qua A(0;1;-2).

 \( \Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=1-t \\  & z=-2 \\ \end{align} \right. \).