Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x)=1/(e^x+1) và F(0)=−ln2e. Tập nghiệm S của phương trình F(x)+ln(e^x+1)=2 là

Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số \( f(x)=\frac{1}{{{e}^{x}}+1} \) và  \( F(0)=-\ln 2e  \). Tập nghiệm S của phương trình  \( F(x)+\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)=2 \) là:

A. \( S=\{3\} \)

B.  \( S=\{2;3\} \)             

C.  \( S=\{-2;3\} \)            

D.  \( S=\{-3;3\} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( F(x)=\int{f(x)dx}=\int{\frac{1}{{{e}^{x}}+1}dx} \) \( =\int{\left( 1-\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)dx}=x-\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)+C \)

 \( F(0)=-\ln 2+C=-\ln 2e\Rightarrow C=-1 \)

Phương trình:  \( F(x)+\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)=2\Leftrightarrow x-\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)-1+\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)=2\Leftrightarrow x=3 \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Biết rằng F(x) là một nguyên hàm trên R của hàm số f(x)=2017x/(x^2+1)^2018 thỏa mãn F(1) = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất m của F(x)

Biết rằng F(x) là một nguyên hàm trên \( \mathbb{R} \) của hàm số  \( f(x)=\frac{2017x}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2018}}} \) thỏa mãn F(1) = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất m của F(x).

A. \( m=-\frac{1}{2} \)

B.  \( m=\frac{1-{{2}^{2017}}}{{{2}^{2018}}} \)  

C.  \( m=\frac{1+{{2}^{2017}}}{{{2}^{2018}}} \)    

D.  \( m=\frac{1}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( \int{f(x)dx}=\int{\frac{2017x}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2018}}}dx}=\frac{2017}{2}\int{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{-2018}}d\left( {{x}^{2}}+1 \right)} \)

 \( =\frac{2017}{2}.\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{-2017}}}{-2017}+C=-\frac{1}{2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2017}}}+C=F(x) \)

Mà  \( F(1)=0\Rightarrow -\frac{1}{{{2.2}^{2017}}}+C=0\Rightarrow C=\frac{1}{{{2}^{2018}}} \)

Do đó:  \( F(x)=-\frac{1}{2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2017}}}+\frac{1}{{{2}^{2018}}} \)

F(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi  \( \frac{1}{2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2017}}} \) lớn nhất  \( \Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}_{\min }}\Leftrightarrow x=0 \).

Vậy  \( m=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2018}}}=\frac{1-{{2}^{2017}}}{{{2}^{2018}}} \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Biết ∫(x−1)^2017/(x+1)^2019dx=1/a.((x−1)/(x+1))^b+C, x≠−1 với a,b∈N∗. Mệnh đề nào sau đây đúng

Biết \( \int{\frac{{{(x-1)}^{2017}}}{{{(x+1)}^{2019}}}dx}=\frac{1}{a}.{{\left( \frac{x-1}{x+1} \right)}^{b}}+C,\text{ }x\ne -1 \) với  \( a,b\in {{\mathbb{N}}^{*}} \). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a = 2b

B. b = 2a

C. a = 2018b                   

D. b = 2018a.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

 \( \int{\frac{{{(x-1)}^{2017}}}{{{(x+1)}^{2019}}}dx}=\int{{{\left( \frac{x-1}{x+1} \right)}^{2017}}.\frac{1}{{{(x+1)}^{2}}}dx} \) \( =\frac{1}{2}\int{{{\left( \frac{x-1}{x+1} \right)}^{2017}}d\left( \frac{x-1}{x+1} \right)}=\frac{1}{4036}.{{\left( \frac{x-1}{x+1} \right)}^{2018}}+C \)

 \( \Rightarrow a=4036,\text{ }b=2018 \).

Do đó: a = 2b.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số f(x)=1/(x^9+3x^5)

Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số \( f(x)=\frac{1}{{{x}^{9}}+3{{x}^{5}}} \)

A. \( \int{f(x)dx}=-\frac{1}{3{{x}^{4}}}+\frac{1}{36}\ln \left| \frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{4}}+3} \right|+C \)      

B.  \( \int{f(x)dx}=-\frac{1}{12{{x}^{4}}}-\frac{1}{36}\ln \left| \frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{4}}+3} \right|+C  \)

C. \( \int{f(x)dx}=-\frac{1}{3{{x}^{4}}}-\frac{1}{36}\ln \left| \frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{4}}+3} \right|+C \)      

D.  \( \int{f(x)dx}=-\frac{1}{12{{x}^{4}}}+\frac{1}{36}\ln \left| \frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{4}}+3} \right|+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

 \( \int{f(x)dx}=\int{\frac{1}{{{x}^{9}}+3{{x}^{5}}}dx}=\int{\frac{{{x}^{3}}}{{{({{x}^{4}})}^{2}}.({{x}^{4}}+3)}dx} \)

 \( =\frac{1}{4}\int{\frac{1}{{{({{x}^{4}})}^{2}}({{x}^{4}}+3)}d({{x}^{4}})=\frac{1}{12}\int{\frac{({{x}^{4}}+3)-{{x}^{4}}}{{{({{x}^{4}})}^{2}}.({{x}^{4}}+3)}d({{x}^{4}})}} \)

 \( =\frac{1}{12}\int{\frac{1}{{{({{x}^{4}})}^{2}}}d({{x}^{4}})}-\frac{1}{12}\int{\frac{1}{{{x}^{4}}({{x}^{4}}+3)}d({{x}^{4}})}=-\frac{1}{12{{x}^{4}}}-\frac{1}{36}\ln \left( \frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{4}}+3} \right)+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho ∫f(x)dx=4x^3+2x+C0. Tính I=∫xf(x^2)dx

Cho \(\int{f(x)dx}=4{{x}^{3}}+2x+{{C}_{0}}\). Tính \(I=\int{xf({{x}^{2}})dx}\).

A. \( I=2{{x}^{6}}+{{x}^{2}}+C \)                  

B.  \( I=\frac{{{x}^{10}}}{10}+\frac{{{x}^{6}}}{6}+C  \)                                   

C.  \( I=4{{x}^{6}}+2{{x}^{2}}+C  \)                         

D.  \( I=12{{x}^{2}}+2 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có: \(I=\int{xf({{x}^{2}})dx}=\frac{1}{2}\int{f({{x}^{2}})d{{x}^{2}}}=\frac{1}{2}\left[ 4{{({{x}^{2}})}^{3}}+2({{x}^{2}}) \right]+C=2{{x}^{6}}+{{x}^{2}}+C\)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho ∫f(4x)dx=x^2+3x+c. Mệnh đề nào dưới đây đúng

Cho \( \int{f(4x)dx}={{x}^{2}}+3x+c  \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(\int{f(x+2)dx}=\frac{{{x}^{2}}}{4}+2x+C\)

B. \(\int{f(x+2)dx}={{x}^{2}}+7x+C\)

C. \(\int{f(x+2)dx}=\frac{{{x}^{2}}}{4}+4x+C\)

D. \(\int{f(x+2)dx}=\frac{{{x}^{2}}}{2}+4x+C\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Từ giả thiết bài toán  \( \int{f(4x)dx}={{x}^{2}}+3x+c  \).

Đặt  \( t=4x\Rightarrow dt=4dx  \) từ đó ta có:  \( \frac{1}{4}\int{f(t)dt}={{\left( \frac{t}{4} \right)}^{2}}+3\left( \frac{t}{4} \right)+c  \)

 \( \Rightarrow \int{f(t)dt}=\frac{{{t}^{2}}}{4}+3t+c  \)

Xét  \( \int{f(x+2)dx}=\int{f(x+2)d(x+2)} \) \( =\frac{{{(x+2)}^{2}}}{4}+3(x+2)+c=\frac{1}{4}{{x}^{2}}+4x+C \)

Vậy mệnh đề đúng là  \( \int{f(x+2)dx}=\frac{1}{4}{{x}^{2}}+4x+C  \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Biết ∫f(2x)dx=sin2x+lnx+C. Tìm nguyên hàm ∫f(x)dx

Biết \( \int{f(2x)dx}={{\sin }^{2}}x+\ln x+C  \). Tìm nguyên hàm  \( \int{f(x)dx} \)?

A. \( \int{f(x)dx}={{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+\ln x+C \)                                  

B.  \( \int{f(x)dx}=2{{\sin }^{2}}2x+2\ln x+C  \)

C. \( \int{f(x)dx}=2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+2\ln x+C \)                             

D.  \( \int{f(x)dx}=2{{\sin }^{2}}x+\ln x+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( \int{f(2x)dx}={{\sin }^{2}}x+\ln x+C  \) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\int{f(2x)d(2x)}=\frac{1-\cos 2x}{2}+\ln (2x)-\ln 2+C \)

 \( \Leftrightarrow \int{f(2x)d(2x)}=1-\cos 2x+2\ln (2x)-2\ln 2+2C  \)

 \( \Leftrightarrow \int{f(x)dx}=1-\cos x+2\ln x-2\ln 2+2C  \)

 \( \Leftrightarrow \int{f(x)dx}=2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+2\ln x+{C}’ \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!