Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=x^3(x^2+1)^2019 là

Họ nguyên hàm của hàm số \( f(x)={{x}^{3}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2019}} \) là:

A. \(\frac{1}{2}\left[ \frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2021}}}{2021}-\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2020}}}{2020} \right]\)

B. \(\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2021}}}{2021}-\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2020}}}{2020}\)

C. \(\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2021}}}{2021}-\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2020}}}{2020}+C\)

D. \(\frac{1}{2}\left[ \frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2021}}}{2021}-\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2020}}}{2020} \right]+C\)

 

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Xét  \( \int{f(x)dx}=\int{{{x}^{3}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2019}}dx}=\int{{{x}^{2}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2019}}xdx} \)

Đổi biến  \( t={{x}^{2}}+1\Rightarrow dt=2xdx  \), ta có:

 \( \int{f(x)dx}=\frac{1}{2}\int{(t-1){{t}^{2019}}dt}=\frac{1}{2}\int{\left( {{t}^{2020}}-{{t}^{2019}} \right)dt} \)

 \( =\frac{1}{2}\left[ \frac{{{t}^{2021}}}{2021}-\frac{{{t}^{2020}}}{2020} \right]+C=\frac{1}{2}\left[ \frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2021}}}{2021}-\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2020}}}{2020} \right]+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *