Biết rằng F(x) là một nguyên hàm trên R của hàm số f(x)=2017x/(x^2+1)^2018 thỏa mãn F(1) = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất m của F(x)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( \int{f(x)dx}=\int{\frac{2017x}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2018}}}dx}=\frac{2017}{2}\int{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{-2018}}d\left( {{x}^{2}}+1 \right)} \)

 \( =\frac{2017}{2}.\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{-2017}}}{-2017}+C=-\frac{1}{2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2017}}}+C=F(x) \)

Mà  \( F(1)=0\Rightarrow -\frac{1}{{{2.2}^{2017}}}+C=0\Rightarrow C=\frac{1}{{{2}^{2018}}} \)

Do đó:  \( F(x)=-\frac{1}{2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2017}}}+\frac{1}{{{2}^{2018}}} \)

F(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi  \( \frac{1}{2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2017}}} \) lớn nhất  \( \Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}_{\min }}\Leftrightarrow x=0 \).

Vậy  \( m=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2018}}}=\frac{1-{{2}^{2017}}}{{{2}^{2018}}} \).