Cho phương trình: cos4x=cos^23x+asin^2x

Cho phương trình: \( \cos 4x={{\cos }^{2}}3x+a{{\sin }^{2}}x \)   (*)

a) Giải phương trình khi \( a=1 \).

b) Tìm a để (*) có nghiệm trên \( \left( 0;\frac{\pi }{12} \right) \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \cos 4x=\frac{1}{2}(1+\cos 6x)+\frac{a}{2}(1-\cos 2x) \)

 \( \Leftrightarrow 2(2{{\cos }^{2}}2x-1)=1+4{{\cos }^{3}}2x-3\cos 2x+a(1-\cos 2x) \) (**)

Đặt  \( t=\cos 2x \) (điều kiện:  \( \left| t \right|\le 1 \)).

Phương trình (**) trở thành:  \( -4{{t}^{3}}+4{{t}^{2}}+3t-3=a(1-t) \)

 \( \Leftrightarrow (t-1)(-4{{t}^{2}}+3)=a(1-t) \)  (***)

a) Khi \( a=1 \) thì (***) thành: \( (t-1)(-4{{t}^{2}}+4)=0\Leftrightarrow t=\pm 1 \)

 \( \Leftrightarrow \cos 2x=\pm 1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}2x=1\Leftrightarrow \sin 2x=0\Leftrightarrow 2x=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Ta có: \( x\in \left( 0;\frac{\pi }{12} \right)\Leftrightarrow 2x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right) \).

Vậy  \( \cos 2x=t\in \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \).

Vậy (***) \( \Leftrightarrow (t-1)(-4{{t}^{2}}+3)=a(1-t)\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}-3=a\text{ }(do\text{ }t\ne 1) \)

Xét  \( y=4{{t}^{2}}-3\text{ }(P) \) trên  \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \)

 \( \Rightarrow {y}’=8t>0,\forall t\in \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \).

Do đó (*) có nghiệm trên  \( \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow (d):y=a \) cắt (P) trên  \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \)

 \( \Leftrightarrow y\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)<a<y(1)\Leftrightarrow 0<a<1 \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Tìm a để hai phương trình sau tương đương: 2cosx.cos2x=1+cos2x+cos3x

Tìm a để hai phương trình sau tương đương:

\( 2\cos x.\cos 2x=1+\cos 2x+\cos 3x \)                    (1)

 \( 4{{\cos }^{2}}x-cos3x=a\cos x+(4-a)(1+\cos 2x) \)   (2)

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( (1)\Leftrightarrow \cos 3x+\cos x=1+\cos 2x+\cos 3x \)

 \( \Leftrightarrow \cos x=1+(2{{\cos }^{2}}x-1)\Leftrightarrow \cos x(1-2\cos x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=0 \\  & \cos x=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \).

Ta có:  \( (2)\Leftrightarrow 4{{\cos }^{2}}x-(4{{\cos }^{3}}x-3\cos x)=a\cos x+(4-a).2{{\cos }^{2}}x \)

 \( \Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}x+(4-2a)co{{s}^{2}}x(a-3)cosx=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\  & 4{{\cos }^{2}}x+2(2-a)\cos x+a-3=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=0 \\  & \left( \cos x-\frac{1}{2} \right)[2\cos x+3-a]=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=0 \\  & \cos x=\frac{1}{2} \\  & \cos x=\frac{a-3}{2} \\ \end{align} \right. \).

Vậy yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \frac{a-3}{2}=0 \\  & \frac{a-3}{2}=\frac{1}{2} \\  & \frac{a-3}{2}<-1\vee \frac{a-3}{2}>1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=3 \\  & a=4 \\  & a<1\vee a>5 \\ \end{align} \right. \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho phương trình: 4cos^5x.sinx−4sin^5xcosx=sin^24x+m

Cho phương trình: \( 4{{\cos }^{5}}x.sinx-4{{\sin }^{5}}xcosx={{\sin }^{2}}4x+m \)   (1)

a) Biết rằng \( x=\pi  \) là nghiệm của (1). Hãy giải (1) trong trường hợp đó.

b) Cho biết \( x=-\frac{\pi }{8} \) là một nghiệm của (1). Hãy tìm tất cả nghiệm của (1) thỏa \( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2<0 \).

Hướng dẫn giải:

  \( (1)\Leftrightarrow 4\sin x\cos x({{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{4}}x)={{\sin }^{2}}4x+m \)

 \( \Leftrightarrow 2\sin 2x({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)({{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x)={{\sin }^{2}}4x+m \)

 \( \Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x={{\sin }^{2}}4x+m\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}4x-\sin 4x+m=0 \)   (2)

a) \( x=\pi \) là nghiệm của (1) \( \Rightarrow {{\sin }^{2}}4\pi -\sin 4\pi +m=0\Rightarrow m=0 \).

Lúc đó  \( (1)\Leftrightarrow \sin 4x(1-\sin 4x)=0\Leftrightarrow \sin 4x=0\vee \sin 4x=1 \)

 \( \Leftrightarrow 4x=k\pi \vee 4x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{4}\vee x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) \( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t={{x}^{2}}\ge 0 \\  & {{t}^{2}}-3t+2<0 \\ \end{align} \right. \)

 \(  \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t={{x}^{2}}\ge 0 \\ & 1 < t<2 \\ \end{align} \right. \)   \( \Leftrightarrow 1 < \left| x \right| < \sqrt{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& -\sqrt{2} < x<-1 \\  & 1 < x <\sqrt{2} \\ \end{align} \right. \) .

 \( x=-\frac{\pi }{8} \) thì  \( \sin 4x=\sin \left( -\frac{\pi }{2} \right)=-1 \).

 \( x=-\frac{\pi }{8} \) là nghiệm của  \( (1)\Rightarrow 1+1+m=0\Leftrightarrow m=-2 \).

Lúc đó (2) thành:  \( {{\sin }^{2}}4x-\sin 4x-2=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin 4x=-1\text{ }(n) \\  & \sin 4x=2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 4x=-1 \)

\(\Leftrightarrow 4x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\).

Kết hợp với điều kiện (*) suy ra  \( k=1 \).

Vậy (1) có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{8}\) thỏa {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2<0.

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho phương trình: cos4x+6sinxcosx=m

Cho phương trình: \( \cos 4x+6\sin x\cos x=m \)   (1)

a) Giải (1) khi \( m=1 \).

b) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt trên \( \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( (1)\Leftrightarrow 1-2{{\sin }^{2}}2x+3\sin 2x=m \)

Đặt  \( t=\sin 2x \) (điều kiện:  \( \left| t \right|\le 1 \)).

Khi đó, phương trình thành:  \( 2{{t}^{2}}-3t+m-1=0 \)  (2)

a) Khi \( m=1 \) thì (2) thành: \( 2{{t}^{2}}-3t=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=0\text{ }(n) \\ & t=\frac{3}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x=0\Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2} \).

b) Khi \( x\in \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \) thì \( \sin 2x=t\in [0;1] \).

Nhận thấy rằng mỗi t tìm được trên  \( [0;1] \) ta chỉ tìm được duy nhất một  \( x\in \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \).

Ta có:  \( (2)\Leftrightarrow -2{{t}^{2}}+3t+1=m \).

Xét  \( y=-2{{t}^{2}}+3t+1 \) trên  \( [0;1] \).

Ta có:  \( {y}’=-4t+3 \).

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow (d):y=m \)cắt tại hai điểm phân biệt trên  \( [0;1] \)

 \( \Leftrightarrow 2\le m<\frac{17}{8} \).

Cách khác: Đặt  \( f(x)=2{{t}^{2}}-3t+m-1 \). Vì  \( a=2>0 \), nên ta có:

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \Delta =17-8m>0 \\ & f(0)=m-1\ge 0 \\  & f(1)=m-2\ge 0 \\  & 0\le \frac{S}{2}=\frac{3}{4}\le 1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2\le m<\frac{17}{8} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho phương trình: (1−a)tan^2x−2cosx+1+3a=0

Cho phương trình: \( (1-a){{\tan }^{2}}x-\frac{2}{\cos x}+1+3a=0 \) (*)

a) Giải (*) khi \( a=\frac{1}{2} \).

b) Tìm a để (1) có nhiều hơn một nghiệm trên \( \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \).

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \) .

(*) \( \Leftrightarrow (1-a){{\sin }^{2}}x-2\cos x+(1+3a){{\cos }^{2}}x=0 \)

 \( \Leftrightarrow (1-a)(1-{{\cos }^{2}}x)-2\cos x+(1+3a){{\cos }^{2}}x=0 \)

 \( \Leftrightarrow 4a{{\cos }^{2}}x-2\cos x+1-a=0\Leftrightarrow a(4{{\cos }^{2}}x-1)-(2\cos x-1)=0 \)

 \( \Leftrightarrow (2\cos x-1)[a(2\cos x+1)-1]=0 \).

a) Khi \( a=\frac{1}{2} \) thì (*) thành: \( \Leftrightarrow (2\cos x-1)\left( \cos x-\frac{1}{2} \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3} \) (nhận do  \( \cos x\ne 0 \))

 \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Khi \( x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \) thì \( \cos x=t\in (0;1) \).

Ta có:  \( (1)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=t=\frac{1}{2}\in (0;1) \\ & 2a\cos x=1-a\begin{matrix}  {} & (**)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow (**) \) có nghiệm trên  \( (0;1)\backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\ & 0<\frac{1-a}{2a}<1 \\  & \frac{1-a}{2a}\ne \frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\  & \frac{1-a}{2a}>0 \\  & \frac{1-3a}{2a}<0 \\  & 2(1-a)\ne 2a \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 0<a<1 \\  & a<0\vee a>\frac{1}{3} \\  & a\ne \frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \frac{1}{3}<a<1 \\ & a\ne \frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \).

Cách khác: Đặt  \( u=\frac{1}{\cos x} \), điều kiện  \( u\ge 1 \), phương trình thành:

 \( (1-a)({{u}^{2}}-1)-2u+1+3a=0\Leftrightarrow (1-a){{u}^{2}}-2u+4a=0 \)

 \( \Leftrightarrow (u-2)[(1-a)u-2a]=0 \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho phương trình: (cosx+1)(cos2x−mcosx)=msin^2x

Cho phương trình: \( (\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x)=m{{\sin }^{2}}x \)  (*)

a) Giải (*) khi \( m=-2 \).

b) Tìm m sao cho (*) có đúng hai nghiệm trên \( \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right] \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (\cos x+1)(2{{\cos }^{2}}x-1-m\cos x)=m(1-{{\cos }^{2}}x) \)

 \( \Leftrightarrow (\cos x+1)[2{{\cos }^{2}}x-1-m\cos x-m(1-\cos x)]=0 \)

 \( \Leftrightarrow (\cos x+1)(2{{\cos }^{2}}x-1-m)=0 \).

a) Khi \( m=-2 \) thì (*) thành:

 \( (\cos x+1)(2{{\cos }^{2}}x+1)=0\Leftrightarrow \cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi +k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Khi \( x\in \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right] \) thì \( \cos x=t\in \left[ -\frac{1}{2};1 \right] \).

Nhận xét răng với mỗi t trên  \( \left[ -\frac{1}{2};1 \right] \) ta chỉ tìm được duy nhất một x trên  \( \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right] \).

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-1-m=0 \) có đúng hai nghiệm trên  \( \left[ -\frac{1}{2};1 \right] \).

Xét  \( y=2{{t}^{2}}-1\text{ }(P) \) và  \( y=m\text{ }(d) \).

Ta có:  \( {y}’=4t\Rightarrow {y}’=0\Leftrightarrow t=0 \).

Bảng biến thiên:

Vậy (*) có đúng hai nghiệm trên  \( \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right] \) \( \Leftrightarrow (d) \) cắt (P) tại hai điểm phân biệt trên  \( \left[ -\frac{1}{2};1 \right] \)

 \( \Leftrightarrow -1<m\le \frac{1}{2} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho phương trình: cos2x−(2m+1)cosx+m+1=0

Cho phương trình: \( \cos 2x-(2m+1)\cos x+m+1=0 \)  (*)

a) Giải phương trình khi \( m=\frac{3}{2} \).

b) Tìm m để (*) có nghiệm trên \( \left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right) \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-(2m+1)\cos x+m=0 \)

Đặt  \( t=\cos x \) (điều kiện:  \( \left| t \right|\le 1 \)).

Khi đó, phương trình trở thành:  \( 2{{t}^{2}}-(2m+1)t+m=0 \)

 \( \Leftrightarrow (2t-1)(t-m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\frac{1}{2} \\  & t=m \\ \end{align} \right. \).

a) Khi \( m=\frac{3}{2} \), phương trình thành: \( \left[ \begin{align}  & \cos x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\  & \cos x=\frac{3}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

 \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Khi \( x\in \left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right) \) thì \( \cos x=t\in [-1;0) \).

Do  \( t=\frac{1}{2}\notin [-1;0] \) nên (*) có nghiệm trên  \( \left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right) \) \( \Leftrightarrow m\in [-1;0) \)

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: (1−tanx)(1+sin2x)=1+tanx

Giải phương trình: \( (1-\tan x)(1+\sin 2x)=1+\tan x \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \cos x\ne 0 \).

Đặt  \( t=\tan x \) thì (*) thành:

 \( (1-t)\left( 1+\frac{2t}{1+{{t}^{2}}} \right)=1+t\Leftrightarrow (1-t)\frac{{{(t+1)}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}=1+t \)

 \( \Leftrightarrow (1+t)\left[ \frac{(1-t)(1+t)}{1+{{t}^{2}}}-1 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1 \\  & \frac{(1-t)(1+t)}{1+{{t}^{2}}}=1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1 \\ & 1-{{t}^{2}}=1+{{t}^{2}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow t=-1\vee t=0 \).

Do đó:  \( \left[ \begin{align}  & \tan x=-1 \\  & \tan x=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi  \\  & x=k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: cotx−tanx+4sin2x=2/sin2x

Giải phương trình: \( \cot x-\tan x+4\sin 2x=\frac{2}{\sin 2x} \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \sin 2x\ne 0 \)

Đặt  \( t=\tan x \) thì:  \( \sin 2x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}} \) do  \( \sin 2x\ne 0 \) nên  \( t\ne 0 \).

(*) thành:  \( \frac{1}{t}-t+\frac{8t}{1+{{t}^{2}}}=\frac{1+{{t}^{2}}}{t}=\frac{1}{t}+t\Leftrightarrow \frac{8t}{1+{{t}^{2}}}=2t \)

 \( \Leftrightarrow \frac{8t}{1+{{t}^{2}}}=2t\Leftrightarrow \frac{4}{1+{{t}^{2}}}=1\text{ }(do\text{ }t\ne 0) \)

 \( \Leftrightarrow {{t}^{2}}=3\Leftrightarrow t=\pm \sqrt{3}\text{ }(\text{nhận }do\text{ }t\ne 0) \)

 \( \Rightarrow \tan x=\pm \sqrt{3}=\tan \left( \pm \frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: sin2x+2tanx=3

Giải phương trình: \( \sin 2x+2\tan x=3 \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \cos x\ne 0 \).

Đặt  \( t=\tan x \) thì (*) thành:

 \( \frac{2t}{1+{{t}^{2}}}+2t=3\Leftrightarrow 2t+(2t-3)(1+{{t}^{2}})=0\Leftrightarrow 2{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+4t-3=0 \)

 \( \Leftrightarrow (t-1)(2{{t}^{2}}-t+3)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=1 \\  & 2{{t}^{2}}-t+3=0\text{ }(\text{vô nghiệm}) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: cotx−1=cos2x/1+tanx+sin^2x−1/2sin2x

(KA – 2003) Giải phương trình: \( \cot x-1=\frac{\cos 2x}{1+\tan x}+{{\sin }^{2}}x-\frac{1}{2}\sin 2x \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align} & \sin 2x\ne 0 \\  & \tan x\ne -1 \\ \end{align} \right. \).

Đặt  \( t=\tan x \) thì (*) thành:

 \( \frac{1}{t}-1=\frac{\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}}{1+t}+\frac{1}{2}\left[ 1-\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}} \right]-\frac{1}{2}.\frac{2t}{1+{{t}^{2}}} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1-t}{t}=\frac{1-t}{1+{{t}^{2}}}+\frac{1}{2}.\frac{2{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}-\frac{t}{1+{{t}^{2}}}\text{ }(do\text{ }t\ne -1) \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1-t}{t}=\frac{{{t}^{2}}-2t+1}{1+{{t}^{2}}}=\frac{{{(1-t)}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}\Leftrightarrow (1-t)(1+{{t}^{2}})={{(1-t)}^{2}}t \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 1-t=0 \\  & 1+{{t}^{2}}=(1-t)t \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=1\text{ }(n) \\  & 2{{t}^{2}}-t+1=0\text{ }(\text{vô nghiệm}) \\ \end{align} \right. \) .

Vậy (*) \( \Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi \text{ }(\text{nhận }do\text{ }\sin 2x=1\ne 0) \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: sin^8x+cos^8x=2(sin^10x+cos^10x)+5/4cos2x

Giải phương trình: \( {{\sin }^{8}}x+co{{s}^{8}}x=2(si{{n}^{10}}x+{{\cos }^{10}}x)+\frac{5}{4}\cos 2x \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow ({{\sin }^{8}}x-2si{{n}^{10}}x)+({{\cos }^{8}}x-2{{\cos }^{10}}x)=\frac{5}{4}\cos 2x \)

 \( \Leftrightarrow {{\sin }^{8}}x(1-2{{\sin }^{2}}x)-{{\cos }^{8}}x(-1+2{{\cos }^{2}}x)=\frac{5}{4}\cos 2x \)

 \( \Leftrightarrow {{\sin }^{8}}x.cos2x-{{\cos }^{8}}x\cos 2x=\frac{5}{4}\cos 2x\Leftrightarrow 4\cos 2x({{\sin }^{8}}x-co{{s}^{8}}x)=5\cos 2x \)

\(\Leftrightarrow \cos 2x\left[ 4({{\sin }^{8}}x-{{\cos }^{8}}x)-5 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0\begin{matrix}  {} & {} & {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & 4({{\sin }^{8}}x-{{\cos }^{8}}x)=5\begin{matrix}   {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\)

+ (1) \( \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ (2) \( \Leftrightarrow 4({{\sin }^{4}}x-co{{s}^{4}}x)({{\sin }^{4}}x+co{{s}^{4}}x)=5 \)

\(\Leftrightarrow 4({{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x)(1-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x)=5\Leftrightarrow -2\cos 2x\left( 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x \right)=5\)

\(\Leftrightarrow -2\cos 2x.\left[ 1-\frac{1}{2}(1-{{\cos }^{2}}2x) \right]=5\Leftrightarrow {{\cos }^{3}}2x+\cos 2x+5=0\) (vô nghiệm)

Cách khác: Ta có  \( 4({{\sin }^{8}}x-co{{s}^{8}}x)=5 \) (vô nghiệm)

Vì  \( ({{\sin }^{8}}x-co{{s}^{8}}x)\le 1,\forall x\Rightarrow 4({{\sin }^{8}}x-co{{s}^{8}}x)\le 4<5,\forall x \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: 48−1/cos^4x−2/sin^2x(1+cot2xcotx)=0

Giải phương trình: \( 48-\frac{1}{{{\cos }^{4}}x}-\frac{2}{{{\sin }^{2}}x}(1+\cot 2x\cot x)=0 \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \sin 2x\ne 0 \).

Ta có:  \( 1+\cot 2x\cot x=1+\frac{\cos 2x}{\sin 2x}.\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin 2x\sin x+\cos 2x\cos x}{\sin x\sin 2x} \)

 \( =\frac{\cos x}{2{{\sin }^{2}}x\cos x}=\frac{1}{2{{\sin }^{2}}x}\text{ }(do\text{ }\cos x\ne 0) \).

Lúc đó (*) \( \Leftrightarrow 48-\frac{1}{{{\cos }^{4}}x}-\frac{1}{{{\sin }^{4}}x}=0\Leftrightarrow 48=\frac{1}{{{\cos }^{4}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{4}}x}=\frac{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}{{{\sin }^{4}}x{{\cos }^{4}}x} \)

 \( \Leftrightarrow 48{{\sin }^{4}}xco{{s}^{4}}x={{\sin }^{4}}x+co{{s}^{4}}x\Leftrightarrow 3{{\sin }^{4}}2x=1-2{{\sin }^{2}}xco{{s}^{2}}x \)

 \( \Leftrightarrow 3{{\sin }^{4}}2x+\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{\sin }^{2}}2x=-\frac{2}{3}\text{ }(\ell ) \\ & {{\sin }^{2}}2x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(1-\cos 4x)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos 4x=0\Leftrightarrow 4x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: sin^42x+cos^42x/tan(π/4−x)tan(π/4+π)=cos^44x

Giải phương trình: \( \frac{{{\sin }^{4}}2x+{{\cos }^{4}}2x}{\tan \left( \frac{\pi }{4}-x \right)\tan \left( \frac{\pi }{4}+\pi  \right)}={{\cos }^{4}}4x \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{align}  & \sin \left( \frac{\pi }{4}-x \right)\cos x\left( \frac{\pi }{4}-x \right)\ne 0 \\  & \sin \left( \frac{\pi }{4}+x \right)\cos x\left( \frac{\pi }{4}+x \right)\ne 0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \sin \left( \frac{\pi }{2}-2x \right)\ne 0 \\  & \sin \left( \frac{\pi }{2}+2x \right)\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \cos 2x\ne 0\Leftrightarrow \sin 2x\ne \pm 1\).

Do:  \( \tan \left( \frac{\pi }{4}-x \right)\tan \left( \frac{\pi }{4}+x \right)=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}.\frac{1+\tan x}{1-\tan x}=1 \).

Khi  \( \cos 2x\ne 0 \) thì:

(*) \( \Leftrightarrow {{\sin }^{4}}2x+{{\cos }^{4}}2x={{\cos }^{4}}4x\Leftrightarrow 1-2{{\sin }^{2}}2xco{{s}^{2}}2x={{\cos }^{4}}4x \)

 \( \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}si{{n}^{2}}4x={{\cos }^{4}}4x\Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}(1-{{\cos }^{2}}4x)={{\cos }^{4}}4x \)

 \( \Leftrightarrow 2{{\cos }^{4}}4x-{{\cos }^{2}}4x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{\cos }^{2}}4x=1\text{ }(n) \\  & {{\cos }^{2}}4x=-\frac{1}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 1-{{\sin }^{2}}4x=1 \)

 \( \Leftrightarrow \sin 4x=0\Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x=0\Leftrightarrow \sin 2x=0\text{ }(do\text{ }\cos 2x\ne 0) \)

 \( \Leftrightarrow 2x=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: tan^3(x−π/4)=tanx−1

Giải phương trình: \( {{\tan }^{3}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\tan x-1 \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Đặt  \( t=x-\frac{\pi }{4}\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+t \)

(*) trở thành:  \( {{\tan }^{3}}t=\tan \left( \frac{\pi }{4}+t \right)-1=\frac{1+\tan t}{1-\tan t}-1 \) với  \( \left\{ \begin{align}  & \cos t\ne 0 \\  & \tan t\ne 1 \\ \end{align} \right. \).

 \( \Leftrightarrow {{\tan }^{3}}t=\frac{2\tan t}{1-\tan t}\Leftrightarrow {{\tan }^{3}}t-{{\tan }^{4}}t=2\tan t \)

 \( \Leftrightarrow \tan t({{\tan }^{3}}t-{{\tan }^{2}}t+2)=0\Leftrightarrow \tan t(\tan t+1)({{\tan }^{2}}t-2\tan t+2)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \tan t=0\vee \tan t=-1 \) (nhận)

 \( \Leftrightarrow t=k\pi \vee t=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Vậy  \( x=\frac{\pi }{4}+k\pi \vee x=k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: 2cos^26x/5+1=3cos8x/5

Giải phương trình: \( 2{{\cos }^{2}}\frac{6x}{5}+1=3\cos \frac{8x}{5} \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \left( 1+\cos \frac{12x}{5} \right)+1=3\left( 2{{\cos }^{2}}\frac{4x}{5}-1 \right) \)

 \( \Leftrightarrow 2+4{{\cos }^{3}}\frac{4x}{5}-3\cos \frac{4x}{5}=3\left( 2{{\cos }^{2}}\frac{4x}{5}-1 \right) \).

Đặt  \( t=\cos \frac{4x}{5} \) (điều kiện  \( \left| t \right|\le 1 \))

Ta có phương trình:  \( 4{{t}^{3}}-3t+2=6{{t}^{2}}-3 \)

 \( \Leftrightarrow 4{{t}^{3}}-6{{t}^{2}}-3t+5=0\Leftrightarrow (t-1)(4{{t}^{2}}-2t-5)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=1\text{ }(n) \\  & t=\frac{1-\sqrt{21}}{4}\text{ }(n) \\  & t=\frac{1+\sqrt{21}}{4}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

+ Với  \( t=\cos \frac{4x}{5}=1\Leftrightarrow \frac{4x}{5}=k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{5k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Với  \( t=\cos \frac{4x}{5}=\frac{1-\sqrt{21}}{4}\Leftrightarrow \frac{4x}{5}=\pm \arccos \left( \frac{1-\sqrt{21}}{4} \right)+h2\pi  \)

 \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{5}{4}\arccos \left( \frac{1-\sqrt{21}}{4} \right)+\frac{h5\pi }{2},\text{ }h\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: sin2x(cotx+tan2x)=4cos^2x

Giải phương trình: \( \sin 2x(\cot x+\tan 2x)=4{{\cos }^{2}}x \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align}  & \cos 2x\ne 0 \\  & \sin x\ne 0 \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \cos 2x\ne 0 \\  & \cos 2x\ne 1 \\ \end{align} \right.  \).

Ta có:  \( \cot x+\tan 2x=\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x}{\sin x\cos 2x}=\frac{\cos x}{\sin x\cos 2x} \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x\left( \frac{\cos x}{\sin x\cos 2x} \right)=4{{\cos }^{2}}x\Leftrightarrow \frac{{{\cos }^{2}}x}{\cos 2x}=2{{\cos }^{2}}x \)

 \( \Leftrightarrow \frac{\frac{1}{2}(\cos 2x+1)}{\cos 2x}=2.\frac{1}{2}(\cos 2x+1)\Leftrightarrow \cos 2x+1=2\cos 2x(\cos 2x+1) \)

 \( \Leftrightarrow (\cos 2x+1)(2\cos 2x-1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x=-1\text{ }(n) \\  & \cos 2x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x=\pi +k2\pi  \\  & 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{2}+k\pi  \\  & x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: sin5x/2=5cos^3x.sinx/2

Giải phương trình: \( \sin \frac{5x}{2}=5{{\cos }^{3}}x.sin\frac{x}{2} \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Nhận xét thấy:  \( \cos \frac{x}{2}=0\Leftrightarrow x=\pi +k2\pi \Leftrightarrow \cos x=-1 \).

Thay vào (*), ta được:

 \( \sin \left( \frac{5\pi }{2}+5k\pi  \right)=-5\sin \left( \frac{\pi }{2}+k\pi  \right) \), không thỏa  \( \forall k \).

Do  \( \cos \frac{x}{2} \) không là nghiệm của (*) nên ta nhân 2 vế phương trình (*) cho  \( \cos \frac{x}{2}\ne 0 \):

(*) \( \Leftrightarrow \sin \frac{5x}{2}.\cos \frac{x}{2}=5{{\cos }^{2}}x.\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} \) và  \( \cos \frac{x}{2}\ne 0 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sin 3x+\sin 2x)=\frac{5}{2}{{\cos }^{3}}x.\sin x \) và  \( \cos \frac{x}{2}\ne 0 \)

 \( \Leftrightarrow 3\sin x-4{{\sin }^{3}}x+2\sin x\cos x=5{{\cos }^{3}}x.\sin x \) và  \( \cos \frac{x}{2}\ne 0 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \cos \frac{x}{2}\ne 0 \\  & 3-4{{\sin }^{2}}x+2\cos x=5{{\cos }^{3}}x\vee \sin \frac{x}{2}=0 \\ \end{align} \right.\)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \cos \frac{x}{2}\ne 0 \\  & 5{{\cos }^{3}}x-4{{\cos }^{2}}x-2\cos x+1=0\vee \sin \frac{x}{2}=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \cos x\ne -1 \\  & (\cos x-1)(5{{\cos }^{2}}x+\cos x-1)=0\vee \sin \frac{x}{2}=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \begin{cases} \cos x\ne -1\\\left[\begin{array}{l} \cos x=1 \\ \cos x=\frac{-1+\sqrt{21}}{10} \\ \cos x=\frac{-1-\sqrt{21}}{10} \end{array}\right.\end{cases} \)

 \( \Leftrightarrow x=k2\pi \vee x=\pm \arccos \left( \frac{-1+\sqrt{21}}{10} \right)+k2\pi \vee x=\pm \arccos \left( \frac{-1-\sqrt{21}}{10} \right)+k2\pi \text{ }(k\in \mathbb{Z}) \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: sin^8x+cos^8x=17/16cos^22x

Giải phương trình: \( {{\sin }^{8}}x+{{\cos }^{8}}x=\frac{17}{16}{{\cos }^{2}}2x \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( {{\sin }^{8}}x+{{\cos }^{8}}x={{({{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{4}}x{{\cos }^{4}}x \)

 \( ={{\left[ {{({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}xco{{s}^{2}}x \right]}^{2}}-\frac{1}{8}{{\sin }^{4}}2x={{\left( 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x \right)}^{2}}-\frac{1}{8}{{\sin }^{4}}2x \)

 \( =1-{{\sin }^{2}}2x+\frac{1}{8}{{\sin }^{4}}2x \).

Do đó: (*) \( \Leftrightarrow 6\left( 1-{{\sin }^{2}}2x+\frac{1}{8}{{\sin }^{4}}2x \right)=17(1-{{\sin }^{2}}2x) \)

 \( \Leftrightarrow 2{{\sin }^{4}}2x+{{\sin }^{2}}2x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{\sin }^{2}}2x=-1\text{ }(\ell ) \\  & {{\sin }^{2}}2x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(1-\cos 4x)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos 4x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho f(x)=sinx+1/3sin3x+2/5sin5x. Giải phương trình: f′(x)=0

Cho \( f(x)=\sin x+\frac{1}{3}\sin 3x+\frac{2}{5}\sin 5x \). Giải phương trình:  \( {f}'(x)=0 \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( {f}'(x)=\cos x+\cos 3x+2\cos 5x \)

 \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow \cos x+\cos 3x+2\cos 5x=0\Leftrightarrow (\cos x+\cos 5x)+(\cos 3x+\cos 5x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow 2\cos 3x\cos 2x+2\cos 4x\cos x=0\Leftrightarrow (4{{\cos }^{3}}x-3\cos x)\cos 2x+(2{{\cos }^{2}}2x-1)\cos x=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ (4{{\cos }^{2}}x-3)\cos 2x+2{{\cos }^{2}}2x-1 \right]\cos x=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \left( 2(1+\cos 2x)-3 \right)\cos 2x+2{{\cos }^{2}}2x-1 \right]\cos x=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=0 \\  & \left( 2(1+\cos 2x)-3 \right)\cos 2x+2{{\cos }^{2}}2x-1=0 \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=0 \\  & 4{{\cos }^{2}}2x-\cos 2x-1=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=0 \\  & \cos 2x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{8} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{2}+k\pi  \\  & 2x=\pm \arccos \left( \frac{1+\sqrt{17}}{8} \right)+k2\pi  \\  & 2x=\pm \arccos \left( \frac{1-\sqrt{17}}{8} \right)+k2\pi  \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{2}+k\pi  \\  & x=\pm \frac{1}{2}\arccos \left( \frac{1+\sqrt{17}}{8} \right)+k\pi  \\  & x=\pm \frac{1}{2}\arccos \left( \frac{1-\sqrt{17}}{8} \right)+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: 4sin^22x+6sin^2x−9−3cos2x/cosx=0

Giải phương trình:  \( \frac{4{{\sin }^{2}}2x+6{{\sin }^{2}}x-9-3\cos 2x}{\cos x}=0 \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}2x+6{{\sin }^{2}}x-9-3\cos 2x=0 \)

 \( \Leftrightarrow 4(1-{{\cos }^{2}}2x)+3(1-\cos 2x)-9-3\cos 2x=0\Leftrightarrow 4{{\cos }^{2}}2x+6cos2x+2=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=-1 \\ & \cos 2x=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x=\pi +k2\pi  \\  & 2x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \text{ }(\ell ) \\  & x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \text{ }(n) \\ \end{align} \right. \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: 3cot^2x+2√2sin^2x=(2+3√2)cosx

Giải phương trình: \( 3{{\cot }^{2}}x+2\sqrt{2}{{\sin }^{2}}x=(2+3\sqrt{2})\cos x \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \sin x\ne 0\Leftrightarrow \cos x\ne \pm 1 \).

Chia hai vế (*) cho  \( {{\sin }^{2}}x\ne 0 \), ta được:

(*)\(\Leftrightarrow 3\frac{{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{4}}x}+2\sqrt{2}=(2+3\sqrt{2})\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}\).

Đặt  \( t=\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \) ta được phương trình:

 \( 3{{t}^{2}}-(2+3\sqrt{2})t+2\sqrt{2}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\frac{2}{3} \\  & t=\sqrt{2} \\ \end{align} \right. \).

+ Với  \( t=\frac{2}{3} \), ta có:  \( \frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}=\frac{2}{3} \)

 \( \Leftrightarrow 3\cos x=2(1-{{\cos }^{2}}x)\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x+3\cos x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=-2\text{ }(\ell ) \\  & \cos x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Với  \( t=\sqrt{2} \), ta có:  \( \frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}=\sqrt{2} \)

 \( \Leftrightarrow \cos x=\sqrt{2}(1-{{\cos }^{2}}x)\Leftrightarrow \sqrt{2}{{\cos }^{2}}x+\cos x-\sqrt{2}=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=-\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\  & \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!