Cho phương trình: \( \cos 4x={{\cos }^{2}}3x+a{{\sin }^{2}}x \) (*)
a) Giải phương trình khi \( a=1 \).
b) Tìm a để (*) có nghiệm trên \( \left( 0;\frac{\pi }{12} \right) \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \cos 4x=\frac{1}{2}(1+\cos 6x)+\frac{a}{2}(1-\cos 2x) \)
\( \Leftrightarrow 2(2{{\cos }^{2}}2x-1)=1+4{{\cos }^{3}}2x-3\cos 2x+a(1-\cos 2x) \) (**)
Đặt \( t=\cos 2x \) (điều kiện: \( \left| t \right|\le 1 \)).
Phương trình (**) trở thành: \( -4{{t}^{3}}+4{{t}^{2}}+3t-3=a(1-t) \)
\( \Leftrightarrow (t-1)(-4{{t}^{2}}+3)=a(1-t) \) (***)
a) Khi \( a=1 \) thì (***) thành: \( (t-1)(-4{{t}^{2}}+4)=0\Leftrightarrow t=\pm 1 \)
\( \Leftrightarrow \cos 2x=\pm 1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}2x=1\Leftrightarrow \sin 2x=0\Leftrightarrow 2x=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
b) Ta có: \( x\in \left( 0;\frac{\pi }{12} \right)\Leftrightarrow 2x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right) \).
Vậy \( \cos 2x=t\in \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \).
Vậy (***) \( \Leftrightarrow (t-1)(-4{{t}^{2}}+3)=a(1-t)\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}-3=a\text{ }(do\text{ }t\ne 1) \)
Xét \( y=4{{t}^{2}}-3\text{ }(P) \) trên \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \)
\( \Rightarrow {y}’=8t>0,\forall t\in \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \).
Do đó (*) có nghiệm trên \( \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow (d):y=a \) cắt (P) trên \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \)
\( \Leftrightarrow y\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)<a<y(1)\Leftrightarrow 0<a<1 \).
Các bài toán liên quan
Các bài toán cùng chủ đề!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!