Cho phương trình: cos4x=cos^23x+asin^2x

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \cos 4x=\frac{1}{2}(1+\cos 6x)+\frac{a}{2}(1-\cos 2x) \)

 \( \Leftrightarrow 2(2{{\cos }^{2}}2x-1)=1+4{{\cos }^{3}}2x-3\cos 2x+a(1-\cos 2x) \) (**)

Đặt  \( t=\cos 2x \) (điều kiện:  \( \left| t \right|\le 1 \)).

Phương trình (**) trở thành:  \( -4{{t}^{3}}+4{{t}^{2}}+3t-3=a(1-t) \)

 \( \Leftrightarrow (t-1)(-4{{t}^{2}}+3)=a(1-t) \)  (***)

a) Khi \( a=1 \) thì (***) thành: \( (t-1)(-4{{t}^{2}}+4)=0\Leftrightarrow t=\pm 1 \)

 \( \Leftrightarrow \cos 2x=\pm 1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}2x=1\Leftrightarrow \sin 2x=0\Leftrightarrow 2x=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Ta có: \( x\in \left( 0;\frac{\pi }{12} \right)\Leftrightarrow 2x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right) \).

Vậy  \( \cos 2x=t\in \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \).

Vậy (***) \( \Leftrightarrow (t-1)(-4{{t}^{2}}+3)=a(1-t)\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}-3=a\text{ }(do\text{ }t\ne 1) \)

Xét  \( y=4{{t}^{2}}-3\text{ }(P) \) trên  \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \)

 \( \Rightarrow {y}’=8t>0,\forall t\in \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \).

Do đó (*) có nghiệm trên  \( \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow (d):y=a \) cắt (P) trên  \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \)

 \( \Leftrightarrow y\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)<a<y(1)\Leftrightarrow 0<a<1 \).