Giải phương trình: sin3x+cos3x+2cosx=0

Hướng dẫn giải:

(*) \( \Leftrightarrow (3\sin x-4{{\sin }^{3}}x)+(4{{\cos }^{3}}x-3\cos x)+2\cos x=0 \)

 \( \Leftrightarrow 3\sin x-4{{\sin }^{3}}x+4{{\cos }^{3}}x-\cos x=0 \)

Vì  \( \cos x=0 \) không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho  \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) ta được:

(*) \( \Leftrightarrow 3\tan x(1+{{\tan }^{2}}x)-4{{\tan }^{3}}x+4-(1+{{\tan }^{2}}x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow -{{\tan }^{3}}x-{{\tan }^{2}}x+3\tan x+3=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & {{t}^{3}}+{{t}^{2}}-3t-3=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & (t+1)({{t}^{2}}-3)=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=-1 \\  & \tan x=\pm \sqrt{3} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi  \\  & x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).