Cho phương trình: cos4x+6sinxcosx=m

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( (1)\Leftrightarrow 1-2{{\sin }^{2}}2x+3\sin 2x=m \)

Đặt  \( t=\sin 2x \) (điều kiện:  \( \left| t \right|\le 1 \)).

Khi đó, phương trình thành:  \( 2{{t}^{2}}-3t+m-1=0 \)  (2)

a) Khi \( m=1 \) thì (2) thành: \( 2{{t}^{2}}-3t=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=0\text{ }(n) \\ & t=\frac{3}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x=0\Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2} \).

b) Khi \( x\in \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \) thì \( \sin 2x=t\in [0;1] \).

Nhận thấy rằng mỗi t tìm được trên  \( [0;1] \) ta chỉ tìm được duy nhất một  \( x\in \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \).

Ta có:  \( (2)\Leftrightarrow -2{{t}^{2}}+3t+1=m \).

Xét  \( y=-2{{t}^{2}}+3t+1 \) trên  \( [0;1] \).

Ta có:  \( {y}’=-4t+3 \).

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow (d):y=m \)cắt tại hai điểm phân biệt trên  \( [0;1] \)

 \( \Leftrightarrow 2\le m<\frac{17}{8} \).

Cách khác: Đặt  \( f(x)=2{{t}^{2}}-3t+m-1 \). Vì  \( a=2>0 \), nên ta có:

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \Delta =17-8m>0 \\ & f(0)=m-1\ge 0 \\  & f(1)=m-2\ge 0 \\  & 0\le \frac{S}{2}=\frac{3}{4}\le 1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2\le m<\frac{17}{8} \).