Giải phương trình: sinxsin2x+sin3x=6cos3x

Hướng dẫn giải:

(*) \( \Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}xcosx+3sinx-4si{{n}^{3}}x=6co{{s}^{3}}x \)

+ Xét  \( \cos x=0\text{ }(\sin x=\pm 1) \) thì (*) vô nghiệm

+ Chia hai vế phương trình (*) cho  \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) ta được:

(*) \( \Leftrightarrow \frac{2{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{3\sin x}{\cos x}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-4.\frac{{{\sin }^{3}}x}{{{\cos }^{3}}x}=6 \)

 \( \Leftrightarrow 2{{\tan }^{2}}x+3\tan x(1+{{\tan }^{2}}x)-4{{\tan }^{3}}x=6 \)

 \( \Leftrightarrow {{\tan }^{3}}x-2{{\tan }^{2}}x-3\tan x+6=0\Leftrightarrow (\tan x-2)({{\tan }^{2}}x-3)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=2 \\  & \tan x=\pm \sqrt{3} \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\arctan (2)+k\pi  \\  & x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \)