Giải phương trình: 2cos^26x/5+1=3cos8x/5

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \left( 1+\cos \frac{12x}{5} \right)+1=3\left( 2{{\cos }^{2}}\frac{4x}{5}-1 \right) \)

 \( \Leftrightarrow 2+4{{\cos }^{3}}\frac{4x}{5}-3\cos \frac{4x}{5}=3\left( 2{{\cos }^{2}}\frac{4x}{5}-1 \right) \).

Đặt  \( t=\cos \frac{4x}{5} \) (điều kiện  \( \left| t \right|\le 1 \))

Ta có phương trình:  \( 4{{t}^{3}}-3t+2=6{{t}^{2}}-3 \)

 \( \Leftrightarrow 4{{t}^{3}}-6{{t}^{2}}-3t+5=0\Leftrightarrow (t-1)(4{{t}^{2}}-2t-5)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=1\text{ }(n) \\  & t=\frac{1-\sqrt{21}}{4}\text{ }(n) \\  & t=\frac{1+\sqrt{21}}{4}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

+ Với  \( t=\cos \frac{4x}{5}=1\Leftrightarrow \frac{4x}{5}=k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{5k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Với  \( t=\cos \frac{4x}{5}=\frac{1-\sqrt{21}}{4}\Leftrightarrow \frac{4x}{5}=\pm \arccos \left( \frac{1-\sqrt{21}}{4} \right)+h2\pi  \)

 \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{5}{4}\arccos \left( \frac{1-\sqrt{21}}{4} \right)+\frac{h5\pi }{2},\text{ }h\in \mathbb{Z} \).