Giải phương trình: sin5x/2=5cos^3x.sinx/2

Hướng dẫn giải:

Nhận xét thấy:  \( \cos \frac{x}{2}=0\Leftrightarrow x=\pi +k2\pi \Leftrightarrow \cos x=-1 \).

Thay vào (*), ta được:

 \( \sin \left( \frac{5\pi }{2}+5k\pi  \right)=-5\sin \left( \frac{\pi }{2}+k\pi  \right) \), không thỏa  \( \forall k \).

Do  \( \cos \frac{x}{2} \) không là nghiệm của (*) nên ta nhân 2 vế phương trình (*) cho  \( \cos \frac{x}{2}\ne 0 \):

(*) \( \Leftrightarrow \sin \frac{5x}{2}.\cos \frac{x}{2}=5{{\cos }^{2}}x.\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} \) và  \( \cos \frac{x}{2}\ne 0 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sin 3x+\sin 2x)=\frac{5}{2}{{\cos }^{3}}x.\sin x \) và  \( \cos \frac{x}{2}\ne 0 \)

 \( \Leftrightarrow 3\sin x-4{{\sin }^{3}}x+2\sin x\cos x=5{{\cos }^{3}}x.\sin x \) và  \( \cos \frac{x}{2}\ne 0 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \cos \frac{x}{2}\ne 0 \\  & 3-4{{\sin }^{2}}x+2\cos x=5{{\cos }^{3}}x\vee \sin \frac{x}{2}=0 \\ \end{align} \right.\)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \cos \frac{x}{2}\ne 0 \\  & 5{{\cos }^{3}}x-4{{\cos }^{2}}x-2\cos x+1=0\vee \sin \frac{x}{2}=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \cos x\ne -1 \\  & (\cos x-1)(5{{\cos }^{2}}x+\cos x-1)=0\vee \sin \frac{x}{2}=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \begin{cases} \cos x\ne -1\\\left[\begin{array}{l} \cos x=1 \\ \cos x=\frac{-1+\sqrt{21}}{10} \\ \cos x=\frac{-1-\sqrt{21}}{10} \end{array}\right.\end{cases} \)

 \( \Leftrightarrow x=k2\pi \vee x=\pm \arccos \left( \frac{-1+\sqrt{21}}{10} \right)+k2\pi \vee x=\pm \arccos \left( \frac{-1-\sqrt{21}}{10} \right)+k2\pi \text{ }(k\in \mathbb{Z}) \).