Bất phương trình \( {{4}^{x}}-(m+1){{.2}^{x+1}}+m\ge 0 \) nghiệm đúng với \( x\ge 0 \). Tập tất cả các giá trị của m là
A. \( \left( -\infty ;12 \right) \)
B. \( \left( -\infty ;-1 \right] \)
C. \( \left( -\infty ;0 \right] \)
D. \( \left( -1;16 \right] \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
\( {{4}^{x}}-(m+1){{.2}^{x+1}}+m\ge 0,\forall x\ge 0 \)
\( \Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-2(m+1){{.2}^{x}}+m\ge 0,\text{ }\forall x>0 \) (1)
Đặt \( t={{2}^{x}},t>0 \)
(1) trở thành \( {{t}^{2}}-2(m+1)t+m\ge 0,\forall t\ge 1 \) (2)
Cách 1:
(2) \( \Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1},\forall t\ge 1 \) (3)
Xét hàm số \( y=f(t)=\frac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1} \). Ta có hàm số \( y=f(t) \) liên tục trên \( \left[ 1;+\infty \right) \).
\( {f}'(t)=\frac{(2t-2)(2t-1)-2({{t}^{2}}-2t)}{{{(2t-1)}^{2}}}=\frac{2{{t}^{2}}-2t+2}{{{(2t-1)}^{2}}}>0,\forall t\ge 1 \)
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên \( \left[ 1;+\infty \right) \) \( \Rightarrow f(t)\ge f(1)=-1,\forall t\ge 1 \)
Do đó (3)\( \Leftrightarrow m\le \displaystyle \min_{[0;+\infty)}f(t)\Leftrightarrow m\le -1 \)
Cách 2:
\( {{t}^{2}}-2(m+1)t+m\ge 0 \) là một bất phương trình bậc 2.
Ta có: \( {\Delta }’={{m}^{2}}+m+1>0,\forall m \) nên \( t\le m+1-\sqrt{{{m}^{2}}+m+1}\vee t\ge m+1+\sqrt{{{m}^{2}}+m+1} \)
(2) \( \Leftrightarrow m+1+\sqrt{{{m}^{2}}+m+1}\le 1 \) \( \Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}+m+1}\le -m \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\le 0 \\ & {{m}^{2}}+m+1\le {{m}^{2}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\le -1 \)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!