Bất phương trình 4^x−(m+1).2^x+1+m≥0 nghiệm đúng với x≥0. Tập tất cả các giá trị của m là

Bất phương trình \( {{4}^{x}}-(m+1){{.2}^{x+1}}+m\ge 0 \) nghiệm đúng với  \( x\ge 0 \). Tập tất cả các giá trị của m là

A. \( \left( -\infty ;12 \right) \)

B.  \( \left( -\infty ;-1 \right] \)             

C.  \( \left( -\infty ;0 \right] \)                       

D.  \( \left( -1;16 \right] \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

 \( {{4}^{x}}-(m+1){{.2}^{x+1}}+m\ge 0,\forall x\ge 0 \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-2(m+1){{.2}^{x}}+m\ge 0,\text{ }\forall x>0 \) (1)

Đặt  \( t={{2}^{x}},t>0 \)

(1) trở thành  \( {{t}^{2}}-2(m+1)t+m\ge 0,\forall t\ge 1 \) (2)

Cách 1:

(2) \( \Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1},\forall t\ge 1 \)  (3)

Xét hàm số  \( y=f(t)=\frac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1} \). Ta có hàm số  \( y=f(t) \) liên tục trên  \( \left[ 1;+\infty  \right) \).

 \( {f}'(t)=\frac{(2t-2)(2t-1)-2({{t}^{2}}-2t)}{{{(2t-1)}^{2}}}=\frac{2{{t}^{2}}-2t+2}{{{(2t-1)}^{2}}}>0,\forall t\ge 1 \)

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên  \( \left[ 1;+\infty  \right) \) \( \Rightarrow f(t)\ge f(1)=-1,\forall t\ge 1 \)

Do đó (3)\( \Leftrightarrow m\le \displaystyle \min_{[0;+\infty)}f(t)\Leftrightarrow m\le -1 \)

Cách 2:

 \( {{t}^{2}}-2(m+1)t+m\ge 0 \) là một bất phương trình bậc 2.

Ta có:  \( {\Delta }’={{m}^{2}}+m+1>0,\forall m  \) nên  \( t\le m+1-\sqrt{{{m}^{2}}+m+1}\vee t\ge m+1+\sqrt{{{m}^{2}}+m+1} \)

(2) \( \Leftrightarrow m+1+\sqrt{{{m}^{2}}+m+1}\le 1 \)   \( \Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}+m+1}\le -m  \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\le 0 \\  & {{m}^{2}}+m+1\le {{m}^{2}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\le -1 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *