Bất phương trình 4^x−(m+1).2^x+1+m≥0 nghiệm đúng với x≥0. Tập tất cả các giá trị của m là

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

 \( {{4}^{x}}-(m+1){{.2}^{x+1}}+m\ge 0,\forall x\ge 0 \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-2(m+1){{.2}^{x}}+m\ge 0,\text{ }\forall x>0 \) (1)

Đặt  \( t={{2}^{x}},t>0 \)

(1) trở thành  \( {{t}^{2}}-2(m+1)t+m\ge 0,\forall t\ge 1 \) (2)

Cách 1:

(2) \( \Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1},\forall t\ge 1 \)  (3)

Xét hàm số  \( y=f(t)=\frac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1} \). Ta có hàm số  \( y=f(t) \) liên tục trên  \( \left[ 1;+\infty  \right) \).

 \( {f}'(t)=\frac{(2t-2)(2t-1)-2({{t}^{2}}-2t)}{{{(2t-1)}^{2}}}=\frac{2{{t}^{2}}-2t+2}{{{(2t-1)}^{2}}}>0,\forall t\ge 1 \)

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên  \( \left[ 1;+\infty  \right) \) \( \Rightarrow f(t)\ge f(1)=-1,\forall t\ge 1 \)

Do đó (3)\( \Leftrightarrow m\le \displaystyle \min_{[0;+\infty)}f(t)\Leftrightarrow m\le -1 \)

Cách 2:

 \( {{t}^{2}}-2(m+1)t+m\ge 0 \) là một bất phương trình bậc 2.

Ta có:  \( {\Delta }’={{m}^{2}}+m+1>0,\forall m  \) nên  \( t\le m+1-\sqrt{{{m}^{2}}+m+1}\vee t\ge m+1+\sqrt{{{m}^{2}}+m+1} \)

(2) \( \Leftrightarrow m+1+\sqrt{{{m}^{2}}+m+1}\le 1 \)   \( \Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}+m+1}\le -m  \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\le 0 \\  & {{m}^{2}}+m+1\le {{m}^{2}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\le -1 \)