Bất phương trình f(e^x) m(3e^x+2019) có nghiệm x∈(0;1) khi và chỉ khi

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Đặt  \( t={{e}^{x}} \) (t > 0). Bất phương trình có dạng:  \( f(t)<m\left( 3t+2019 \right)\Leftrightarrow \frac{f(t)}{3t+2019} \)

Ta có:  \( x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow t={{e}^{x}}\in \left( 1;e \right) \)

Xét hàm số  \( g(t)=\frac{f(t)}{3t+2019} \) có  \( {g}'(t)=\frac{{f}'(t)\left( 3t+2019 \right)-3f(t)}{{{\left( 3t+2019 \right)}^{2}}} \).

Dựa vào đồ thị hàm số f(x), ta thấy: f(x) đồng biến trên khoảng (1;e) và f(x) < 0,  \( \forall x\in \left( 1;e \right) \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & f(x)<0 \\  & {f}'(x)>0 \\ \end{align} \right.,\forall x\in \left( 1;e \right) \).

 \( \Rightarrow {g}'(t)>0,\forall t\in \left( 1;e \right) \)

 \( \Rightarrow g(t) \) đồng biến trên khoảng (1;e)  \( \Rightarrow g(1)<g(t)<g(e),\forall t\in \left( 1;e \right) \)

Vậy bất phương trình  \( f\left( {{e}^{x}} \right)<m\left( 3{{e}^{x}}+2019 \right) \) có nghiệm  \( x\in \left( 0;1 \right) \)

 \( \Leftrightarrow \frac{f(t)}{3t+2019}g(1)=-\frac{4}{2022}=-\frac{2}{1011} \)