Gọi A và B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số \( y=\frac{x}{x-2} \). Khi đó độ dài đoạn AB ngắn nhất bằng
A. \( 4\sqrt{2} \)
B. \( 2\sqrt{2} \)
C. 4
D. \( 3\sqrt{2} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Hàm số \( y=\frac{x}{x-2} \) có đồ thị (C) như hình vẽ.
Gọi \( A\left( a;\frac{a}{a-2} \right) \) và \( B\left( b;\frac{b}{b-2} \right) \) là hai điểm thuộc hai nhánh của (C) \( \left( a < 2 < b \right) \)
Ta có: \( \overrightarrow{AB}=\left( b-a;\frac{b}{b-2}-\frac{a}{a-2} \right)=\left( b-a;\frac{b-a}{(b-2)(2-a)} \right) \).
Áp dụng Bất đẳng thức Cosi, ta có: \( \left( b-2 \right)\left( 2-a \right)\le \frac{{{\left( b-a \right)}^{2}}}{4} \).
Suy ra: \( A{{B}^{2}}={{\left( b-a \right)}^{2}}+\frac{{{\left( b-a \right)}^{2}}}{{{\left[ \left( b-2 \right)\left( 2-a \right) \right]}^{2}}}\ge {{\left( b-a \right)}^{2}}+\frac{64}{{{\left( b-a \right)}^{2}}}\ge 16 \)
\( \Rightarrow AB\ge 4 \).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( a=2-\sqrt{2} \) và \( b=2+\sqrt{2} \)
Vậy \( A{{B}_{\min }}=4 \).
Các bài toán liên quan
Các bài toán mới!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!