Gọi A và B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số y=x/(x−2). Khi đó độ dài đoạn AB ngắn nhất bằng

Gọi A và B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số \( y=\frac{x}{x-2} \). Khi đó độ dài đoạn AB ngắn nhất bằng

A. \( 4\sqrt{2} \)

B.  \( 2\sqrt{2} \)                       

C. 4                                  

D.  \( 3\sqrt{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 

Hàm số  \( y=\frac{x}{x-2} \) có đồ thị (C) như hình vẽ.

Gọi  \( A\left( a;\frac{a}{a-2} \right) \) và  \( B\left( b;\frac{b}{b-2} \right) \) là hai điểm thuộc hai nhánh của (C)  \( \left( a < 2 < b \right) \)

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=\left( b-a;\frac{b}{b-2}-\frac{a}{a-2} \right)=\left( b-a;\frac{b-a}{(b-2)(2-a)} \right) \).

Áp dụng Bất đẳng thức Cosi, ta có:  \( \left( b-2 \right)\left( 2-a \right)\le \frac{{{\left( b-a \right)}^{2}}}{4} \).

Suy ra:  \( A{{B}^{2}}={{\left( b-a \right)}^{2}}+\frac{{{\left( b-a \right)}^{2}}}{{{\left[ \left( b-2 \right)\left( 2-a \right) \right]}^{2}}}\ge {{\left( b-a \right)}^{2}}+\frac{64}{{{\left( b-a \right)}^{2}}}\ge 16 \)

 \( \Rightarrow AB\ge 4 \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( a=2-\sqrt{2} \) và  \( b=2+\sqrt{2} \)

Vậy  \( A{{B}_{\min }}=4 \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *